奋斗的demon——基本计数方法（实践一）

今天demon要应用昨天的理论练习：

大白老师布置了2个基本计数类型题目（象棋中的皇后，数三角形，有多少个0）

1个容斥原理题目（拉拉队）

1个二项式系数题目（超级平均数）

【例1.1 象棋中的皇后】（基本计数原理）

【题目描述】

    你可能知道象棋怎么下以及皇后的移动规则。当两个皇后在同一行、同一列或同一条斜线上时，她们就会互相攻击。假设两个这样的皇后（一黑一白）被放在一个2×2的棋盘上，她们可以有12种互相攻击的方式，请看下图：

给出一个N×M的棋盘，计算有多少种放法能使两个皇后互相攻击。

【输入】

    输入至多包含5000行。每一行有两个非负整数N、M（0<M, N≤106）。输入以两个N=M=0为结束标志，这一行不需要处理。

【输出】

    对于输入的每一行，输出一行。这一行包含一个整数，它表示放法的种数。所有的输出数据都在带符号的64位整数内。

【样例输入】

2 2

100 223

2300 100000

【样例输出】

12

10907100

11514134000

【分析】

因为只有两个皇后，因此相互攻击的方式只有两个皇后在同一行、同一列或同一对角线3种情况。这三种情况没有交集，因此可以使用加法原理。设在同一行放两个皇后的方案为A（n,m），同一列放两个皇后的方案数为B（n,m），同一对角线放两个皇后的方案数为D（n,m），则答案为A（n,m）+B（n,m）+D（n,m）。

A（n,m）的计算用乘法原理：放白后有n*m种方法，放黑后有m-1种方法。A（n,m）=n*m*(m-1)。

B（n,m）=A（n,m）。

D（n,m）比较复杂。假设n≤m,所有/向的对角线，从左到右的长度依次为：1,2,3,...,n-1,n,n,n,...n,n-1,n-2,...,2,1(其中n有m-n+1个)

因为还有\方向的对象线，所以结果*2。

D（n,m）=2*(2*Σ(i=1~n-1)i*(i-1)+(m-n+1)*n*(n-1))=2*(n*(n-1)(2*n-4)/3+(m-n+1)*n*(n-1))=2*n*(n-1)*(3*m-n-1)/3。

其中Σ(i=1~n-1)i*i=n*(n-1)*(2*n-1)/6,

Σ(i=1~n-1)i=n*(n-1)/2

小tips：使用64位无符号整数保存n,m，最大可以保存2^64-1>1.8*10^19,因为这道题的运算结果种不会出现负数，使用无符号64位整数保险。

 

【例1.2 数三角形】

【题目描述】给定边长1,2,3,...n的n条边，现在要在里面任意选取三条边构成三角形，求一共可以构成多少个三角形？

【样例输入】

5

8

【样例输出】

3

22

【分析】

首先三重循环O(n^3)的时间，肯定超时。

所以我们换一个角度看问题，加法原理：

 

我们先定义一个函数f(n)：当最大编程为n时所能构成的三角形数目。

对于三角形的三边而言，我们可以设定为x,y,z。并且我们假设x是最大边。那么我们有y+z>x，因此可以推出x-y<z<x。

根据这个不等式我们有，当y=1时，显然无解；当y=2时，有一个解；当y=3时，有两个解；·····当y=x-1时有x-2个解。根据等差数列求和公式我们有一共有

0+1+2+······+(x-2)=(x-1)(x-2)/2。但是我们需要注意，这里包含了y=z情况。那么我们需要减去从y=x/2+1开始到y=x-1为止，此时我们多计数了(x-1)-(x/2+1)+1=(x-1)/2个解，而且除此之外，我们对于每一个y我们都有重复计数，因为前后是对称的。所以我们最后还要除以2得到最终结果。

最终结果为：

          

那么最后的递推式我们可以写为：

          

核心代码：f[x]=f[x-1]+((x-1)*(x-2)/2-(x-1)/2)/2。

【例1.3 有多少个0】（整数区间分解，统计）

【题目描述】输入两个非负整数m和n（m≤n<2^31），求将m~n的所有整数写出来，一共要写多少个数字0？

【分析】假设f(x)表示从0到x需要写多少个0,于是给出区间[m,n]就有答案f(n)-f(m-1)。而f(x)如何求呢？枚举每个位置上可能为0的情况，计算组成方法。

 

#include  <iostream>
unsigned long long m, n;
using namespace std;
long long f(long long left) {
    if (left < 0) return 0;
    long long ans = 1, mid, right = 0, j = 1;
    while (left >= 10) {
        mid = left % 10; left /= 10;
        if (mid) ans += left * j;
        else ans += (left - 1) * j + right + 1;
        right = right + mid * j;
        j *= 10;
    }
    return ans;
}
 
int main() {
    while (cin>>m>>n && n != -1 || m != -1) {
        cout<<f(n)-f(m-1)<<endl;
    }
    return 0;
}

明天继续......