数据结构与算法---堆

最新推荐文章于 2025-11-29 06:30:00 发布

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需求

假如我们现在要设计一种数据结构，用来存放整数，要提供三个接口：
添加元素、获取最大值、删除最大值

我们可以使用动态数组或者双向链表来做。
获取最大值：需要遍历整个数组或者链表，因此，时间复杂度为O(n)
删除最大值：需要遍历整个数组或者链表，因此，时间复杂度为O(n)
添加元素：默认是添加到最后。
动态数组添加在最后，在知道数组size的情况下，添加元素的时间复杂度为O(1)
双向链表添加在最后，由于双向链表有first和last指针，因此，可以直接找到最后的元素，所以，添加元素的时间复杂度为O(1)

当然，我们也可以使用有序的动态数组或者双向链表来做
获取最大值：如果从小到大排序的话，因为是有序的，所以直接取出最后一个元素即可。因此，时间复杂度为O(1)
删除最大值：如果从小到大排序的话，因为是有序的，所以直接取出最后一个元素即可。因此，时间复杂度为O(1)
添加元素：默认是添加到最后。
动态数组添加在最后，在知道数组size的情况下，插入元素的时间复杂度为O(1)，但是插入完毕后需要做比较，保证数组还是有序的，这就要做比较，因此，这样其时间复杂度为O(n)
双向链表添加在最后，由于双向链表有first和last指针，因此，可以直接找到最后的元素，并插入。但是插入完毕后需要做比较，保证数组还是有序的，这就要做比较，因此，这样其时间复杂度为O(n)
但是，我们只是要做获取最大值，删除最大值。就用到了全排序，维护全排序有点浪费。

当然，我们还可以使用平衡二叉搜索树BBST来做
由于BBST的最大值一定是位于最右边，因此：
获取最大值：查找最右边的元素，树的高度为logn，因此，时间复杂度为O(logn)
删除最大值：查找最右边的元素，树的高度为logn，因此，时间复杂度为O(logn)
添加元素：AVL树和红黑树的添加元素都是O(logn)
但，维护一个AVL树或者红黑树也是够复杂的。

因此，有没有更好的数据结构可以解决我们的需求呢？
这就是我们要讲的堆。

在这里插入图片描述

堆(Heap)

堆的获取最大值时间复杂度为O(1)
删除最大值时间复杂度为O(logn)
添加元素的时间复杂度为O(logn)

并且，堆广泛应用在Top K的问题中

什么是Top K问题？

在海量数据里面，找出前K个数据。
比如：在100万整数中，找出最大的100个数。

当然，堆是解决Top K的一种方法之一，而不是解决Top K的唯一方法。

堆是一种树状的数据结构(注意，不要跟内存存储的堆栈空间混淆)
常见的堆实现有：
二叉堆（完全二叉堆）
多叉堆
索引堆
二项堆
等等

堆的一个重要性质：任意节点的值总是>=（<=）子节点
如果任意节点的值总是>=子节点的堆，称为：最大堆、大根堆、大顶堆
如果任意节点的值总是<=子节点的堆，称为：最小堆、小根堆、小顶堆

既然要有>=或者<=，可见堆需要具备可比较性。

基本上涉及到的接口有：

int size(); // 元素的数量
boolean isEmpty(); // 是否为空
void clear(); // 清空
void add(E element); // 添加元素
E get(); // 获得堆顶元素
E remove(); // 删除堆顶元素
E replace(E element); // 删除堆顶元素的同时插入一个新元素