算法设计与分析: 2-7 士兵站队问题

2-7 士兵站队问题

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问题描述

在一个划分成网格的操场上，n个士兵散乱地站在网格点上。网格点由整数坐标(x,y)表示。士兵们可以沿网格边上、下、左、右移动一步，但在同一时刻任一网格点上只能有一名士兵。按照军官的命令，士兵们要整齐地列成一个水平队列，即排列(x,y),(x+1,y),…,(x+n-1,y)。如何选择x 和y的值才能使士兵们以最少的总移动步数排成一列。 编程计算使所有士兵排成一行需要的最少移动步数。

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分析：中位数原理

本质上同 输油管道问题 和 邮局选址问题

Y轴方向
设目标坐标为M，即n个士兵最终需要移动到的Y轴的坐标值为M
n个士兵的Y轴坐标分别为：$Y_0，Y_1，Y_2 …… Y_{n-1}$
则最优步数$S=|Y_0-M|+|Y_1-M|+|Y_2-M|+ …… +|Y_{n-1}-M|$
结论：M取中间点的值使得S为最少（最优）(中位数原理)

X轴方向
首先需要对所有士兵的X轴坐标值进行排序
然后，按从左至右的顺序依次移动到每个士兵所对应的“最终位置”（最优），所移动的步数总和就是X轴方向上需要移动的步数。
例如 最左的士兵移动到“最终位置”的最左那位，第二个士兵移动到“最终位置”的第二位，则总的步数为：士兵一移动步数+士兵二移动步数+ …… +士兵n移动步数。
一共n个士兵，他们相应的X轴坐标为：$X_0，X_1，X_2 …… …… X_{n-1}$
假设 士兵需要移动到的“最终位置”的X轴坐标值为：k，k+1，k+2 …… …… k+(n-1)
则所求最优步数$S=|X_0-k|+|X_1- (k+1) |+|X_2-(k+2)|+ …… +|X_{n-1}-(k+(n-1))|$
经过变形$S=|X_0-k|+|(X_1-1)-k|+|(X_2-2)-k|+ …… +|(X_{n-1}-(n-1))-k|$
注意到公式的形式与Y轴方向上一样，同样是n个已知数分别减去一个待定数后取绝对值，然后求和。（中位数原理）

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Java

import java.util.Arrays;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        int soldiers = 5;
        int[][] points = {{1, 2}, {2, 2}, {1, 3}, {3, -2}, {3, 3}};
        int[] pointX = new int[soldiers];
        int[] pointY = new int[soldiers];

        for(int i=0; i<soldiers; i++){
            pointX[i] = points[i][0];
            pointY[i] = points[i][1];
        }

        //sort point x & y
        Arrays.sort(pointX);
        Arrays.sort(pointY);

        System.out.println("Sorted point x before reform: ");
        for(int i=0; i<soldiers; i++){
            System.out.println(pointX[i]);
        }

        //reform
        for(int i=0;i<soldiers;i++){
            pointX[i] -= i;
        }

        System.out.println("point x after reform: ");
        for(int i=0; i<soldiers; i++){
            System.out.println(pointX[i]);
        }

        //sorted point x after reform
        Arrays.sort(pointX);
        System.out.println("Sorted point x after reform: ");
        for(int i=0; i<soldiers; i++){
            System.out.println(pointX[i]);
        }

        //sorted point y
        System.out.println("Sorted point y: ");
        for(int i=0; i<soldiers; i++){
            System.out.println(pointY[i]);
        }

        int stepX=0;
        int stepY=0;
        int medianX, medianY;//中位数
        if(soldiers%2 == 1){
            medianX = pointX[soldiers/2];
            medianY = pointY[soldiers/2];
            for(int i=0; i<soldiers; i++){
                stepX += Math.abs(pointX[i]-medianX);
                stepY += Math.abs(pointY[i]-medianY);
            }
        }else {
            medianX = pointX[soldiers/2] + pointX[soldiers/2-1];
            medianX /= 2;

            medianY = pointY[soldiers/2] + pointY[soldiers/2-1];
            medianY /= 2;
            for(int i=0; i<soldiers; i++){
                stepX += Math.abs(pointX[i]-medianX);
                stepY += Math.abs(pointY[i]-medianY);
            }
        }

        int step = stepX + stepY;

        System.out.println("The least steps is: "+step);
    }
}

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Output

Sorted point x before reform: 
1
1
2
3
3
point x after reform: 
1
0
0
0
-1
Sorted point x after reform: 
-1
0
0
0
1
Sorted point y: 
-2
2
2
3
3
The least steps is: 8

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Reference

王晓东《计算机算法设计与分析》（第3版）P44