BZOJ 1415 聪聪和可可 （Dijkstra预处理 + 期望DP + 记忆化搜索）

任重而道远

题目描述

在一个魔法森林里，住着一只聪明的小猫聪聪和一只可爱的小老鼠可可。虽 然灰姑娘非常喜欢她们俩，但是，聪聪终究是一只猫，而可可终究是一只老鼠， 同样不变的是，聪聪成天想着要吃掉可可。

一天，聪聪意外得到了一台非常有用的机器，据说是叫 GPS，对可可能准确 的定位。有了这台机器，聪聪要吃可可就易如反掌了。于是，聪聪准备马上出发， 去找可可。而可怜的可可还不知道大难即将临头，仍在森林里无忧无虑的玩耍。 小兔子乖乖听到这件事，马上向灰姑娘报告。灰姑娘决定尽快阻止聪聪，拯救可 可，可她不知道还有没有足够的时间。

整个森林可以认为是一个无向图，图中有 NN 个美丽的景点，景点从 11 至 NN 编号。小动物们都只在景点休息、玩耍。在景点之间有一些路连接。

当聪聪得到 GPS 时，可可正在景点 MM(M≤NM≤N)处。以后的每个时间单位，可可 都会选择去相邻的景点(可能有多个)中的一个或停留在原景点不动。而去这些地方所发生的概率是相等的。假设有 PP 个景点与景点 M 相邻，它们分别是景点 R、 景点 S，……景点 Q，在时刻 TT 可可处在景点 M，则在( T+1T+1 )时刻，可可有 1/(1 +P)1/(1+P) 的可能在景点 R，有 1/(1 +P)1/(1+P) 的可能在景点 S，……，有 1/(1 +P)1/(1+P) 的可能在景点 Q，还有1/(1 +P)1/(1+P)的可能停在景点 M。

我们知道，聪聪是很聪明的，所以，当她在景点 C 时，她会选一个更靠近 可可的景点，如果这样的景点有多个，她会选一个标号最小的景点。由于聪聪太 想吃掉可可了，如果走完第一步以后仍然没吃到可可，她还可以在本段时间内再 向可可走近一步。

在每个时间单位，假设聪聪先走，可可后走。在某一时刻，若聪聪和可可位 于同一个景点，则可怜的可可就被吃掉了。

灰姑娘想知道，平均情况下，聪聪几步就可能吃到可可。而你需要帮助灰姑 娘尽快的找到答案。

输入输出格式

输入格式：

数据的第 1 行为两个整数 NN 和 EE，以空格分隔，分别表示森林中的景点数和 连接相邻景点的路的条数。

第 2 行包含两个整数 CC 和 MM，以空格分隔，分别表示初始时聪聪和可可所在的景点的编号。

接下来 E 行，每行两个整数，第 i+2i+2 行的两个整数 A_iAi​和 B_iBi​表示景点 A_iAi​和景点 B_iBi​ 之间有一条路。 所有的路都是无向的，即：如果能从 A 走到 B，就可以从 B 走到 A。

输入保证任何两个景点之间不会有多于一条路直接相连，且聪聪和可可之间必有路直接或间接的相连。

输出格式：

输出 1 个实数，四舍五入保留三位小数，表示平均多少个时间单位后聪聪会把可可吃掉。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4 3 
1 4 
1 2 
2 3 
3 4

输出样例#1： 复制

1.500 

输入样例#2： 复制

9 9 
9 3 
1 2 
2 3 
3 4 
4 5 
3 6 
4 6 
4 7 
7 8 
8 9

输出样例#2： 复制

2.167

说明

【样例说明 1】

开始时，聪聪和可可分别在景点 1 和景点 4。

第一个时刻，聪聪先走，她向更靠近可可(景点 4)的景点走动，走到景点 2， 然后走到景点 3；假定忽略走路所花时间。

可可后走，有两种可能： 第一种是走到景点 3，这样聪聪和可可到达同一个景点，可可被吃掉，步数为 11，概率为0.50.5。

第二种是停在景点 4，不被吃掉。概率为 0.50.5。

到第二个时刻，聪聪向更靠近可可(景点 4)的景点走动，只需要走一步即和 可可在同一景点。因此这种情况下聪聪会在两步吃掉可可。 所以平均的步数是 1\times 1/2 + 2\times 1/2 =1.51×1/2+2×1/2=1.5 步。

对于 50%的数据，1≤N≤501≤N≤50。
对于所有的数据，1≤N,E≤10001≤N,E≤1000。

AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;

const int N = 1e3 + 5;
struct Edge {
	int tov, nxt;
}e[N << 1];
struct Node {
	int id, d;
	bool operator < (const Node &nd) const {
		return d < nd.d;
	}
};
priority_queue <Node> q;
int head[N], dis[N][N], w[N][N], vis[N][N], du[N];
int n, m, num, s, t;
double dp[N][N];
double sww;

void add_edge (int u, int v) {
	e[++num] = (Edge) {v, head[u]}, head[u] = num;
}

void Dijkstra (int x) {
	memset (dis[x], 127, sizeof (dis[x]));
	memset (w[x], 127, sizeof (w[x]));
	dis[x][x] = 0;
	q.push ((Node) {x, dis[x][x]});
	while (!q.empty ()) {
		Node nd = q.top (); q.pop ();
		int u = nd.id, d = nd.d;
		if (dis[x][u] != d) continue;
		for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
			int v = e[i].tov;
			if (dis[x][v] > dis[x][u] + 1) {
				dis[x][v] = dis[x][u] + 1;
				q.push ((Node) {v, dis[x][v]});
			}
		}
	}
}

double dfs (int u, int v) {
	if (vis[u][v]) return dp[u][v];
	if (u == v) return 0;
	int fir = w[u][v], sec = w[fir][v];
	if (fir == v || sec == v) return 1;
	dp[u][v] = 1;
	for (int i = head[v]; i; i = e[i].nxt) {
		int x = e[i].tov;
		dp[u][v] += dfs (sec, x) / (du[v] + 1);
	}
	dp[u][v] += dfs (sec, v) / (du[v] + 1);
	vis[u][v] = 1;
	return dp[u][v];
}

void init () {
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		Dijkstra (i);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int it = head[i]; it; it = e[it].nxt) {
			int x = e[it].tov;
			for (int j = 1; j <= n; j++)
				if (dis[i][j] == dis[x][j] + 1) w[i][j] = min (w[i][j], x);
		}
}

int main () {
	scanf ("%d%d", &n, &m);
	scanf ("%d%d", &s, &t);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int u, v;
		scanf ("%d%d", &u, &v);
		add_edge (u, v), du[u]++;
		add_edge (v, u), du[v]++;
	}
	init ();
	sww = dfs (s, t);
	printf ("%.3lf", sww);
	return 0;
}