1041: [HAOI2008]圆上的整点

最新推荐文章于 2021-06-30 10:46:29 发布

原创最新推荐文章于 2021-06-30 10:46:29 发布 · 398 阅读

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本文详细解析了如何通过代数方法解决几何问题，包括将几何方程转化为完全平方形式，利用最大公约数（GCD）的概念简化计算，以及在特定范围内枚举可能的解。文章提供了一个通用的方法来解决形如X^2 + Y^2 = R^2的方程，并解释了如何通过枚举和验证来找到所有可能的整数解。此外，文章还强调了在计算过程中使用longlong数据类型的重要性，以避免溢出错误。

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题目倒是很简洁明了……但是有点让人无从下手
我们一步一步来分析：
首先写出式子 X ^ 2 + Y ^ 2 = R ^ 2
移项 Y ^ 2 = R ^ 2 - X ^ 2
= (R + X)(R - X)
设 d = GCD(R + X, R - X)
则 Y ^ 2 = d ^ 2 * (R + X) / d * (R - X) / d
设 A = (R + X) / d, B = (R - X) / d
则 A != B 且 GCD(A, B) = 1
且 Y ^ 2 = d ^ 2 * A * B
由于Y ^ 2 是完全平方数, d ^ 2也是完全平方数, 而A, B互质，所以A, B都是完全平方数
设 A = a ^ 2, B = b ^ 2
则 a ^ 2 + b ^ 2 = 2 * R / d
说明 d 是 2 * R 的因数，以此可以在[1, sqrt(2 * R)]的范围内枚举i，当2 * R % i == 0时，i 和 2 * R / i都是2 * R 的因数。确定 2 * R / d 的值，假设a < b，我们再在[1, sqrt((2 * R / d) / 2)]的范围内枚举a, 算出对应的 A, b, B，如果A, B都是完全平方数而且 A != B, GCD(A, B) == 1则方案数加1。这是一个象限的方案数，最后再* 4 再加上坐标轴上的4个即可
[Pay Attention]
用long long啊用long long！
注意以后求勾股数相关的都可以利用这里推出的结论……

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long sint;
sint n;
int ans;
sint gcd(sint a,sint b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
void check(sint lim)
{
    sint A,B,a,b,b2;
    sint tmp=sqrt(lim/2);
    for(a=1;a<=tmp;a++)
    {
        B=lim-a*a;
        b=sqrt(B);
        if(B!=b*b) continue;
        A=a*a;
        if(A==B) continue;
        if(gcd(A,B)!=1) continue;
        ans++;
    }
}
int main()
{
    sint r,sqn;
    cin>>r;
	sqn = sqrt(r*2);
	for(sint i = 1;i <= sqn;i++)
	if( 2*r%i==0 )
    {
		check(i);
		check(2*r / i);
	}
	printf("%d\n",(ans+1)*4);
    return 0;
}