题解：数学考试（动态规划、前缀和）

题目描述

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/15553
来源：牛客网

题意分析：

在n个连续排列的数中，选取两段长为k的区间，使得两端区间不相互重叠且这两段区间元素之和最大，求这个最大值。

样例分析：
2
6 3
1 1 1 1 1 1
黄色标明了选取的两段区间，最大值为6

8 2
-1 0 2 -1 -1 2 3 -1

黄色标明了选取的两段区间，最大值为7

知识点引入：

前缀和：前缀和可以理解为高中数学知识中数列的前n项和，sum[i]即为前i个元素之和，在循环读入的过程中，用sum[i]=sum[i-1]+a；即可得到前缀和数组。

解题思路(数组下标从1开始)：

p[i] 表示以第i个元素结尾的且区间长为k的元素之和，于是 p[i]=sum[i]-sum[i-k];

以下利用动态规划的解题技巧：​

dp[i] 表示以i结尾的区间长为k的最大元素和。
dp数组的边界条件：
当区间长度恰好为k时，dp[k]=p[k]。即 if(i==k) dp[i]=p[i]

非边界条件下dp[i]的状态转移为:
else if(i>k)                   dp[i]= dp[i-1] > p[i] ? dp[i-1] : p[i];
(若以i结尾的k个元素和p[i]比前 i-1 个元素中连续k个元素和的最大值还要大，则前i个数中最大的长为K的区间和就是p[i],否则不变)

ddpp[i] 表示以i结尾的两端长为 k的区间的最大元素和
ddpp数组的边界条件：
当区间长恰为2*k时，ddpp[2*k]=p[2*k]+dp[k];
即if(i==2*k) ddpp[i]=p[i]+dp[i-k];

非边界条件下dp[i]的状态转移为:
else if(i>2*k)
ddpp[i]=(ddpp[i-1]>p[i]+dp[i-k] ? ddpp[i-1] : p[i]+dp[i-k]);

完整代码：

#include<stdio.h>
   int main(){
   int T;
   scanf("%d",&T);
   while(T--){
   int n,k;
   scanf("%d%d",&n,&k);
   long long sum[200010];
   long long  p[200010];
   long long dp[200010];
   long long ddpp[200010];
   for(int i=0;i<k;i++) dp[i]=0;
   long long max;
   sum[0]=0;
   for(int i=1;i<=n;i++)
   {
   long long  a;
   scanf("%lld",&a);
   sum[i]=sum[i-1]+a;
   
   if(i>=k)   
   p[i]=sum[i]-sum[i-k];
      
   if(i==k) 
   dp[i]=p[i];
   
   else if(i>k) 
   dp[i] = ( dp[i-1] > p[i] ? dp[i-1] : p[i] );
              
   if(i==2*k) 
   ddpp[i]=p[i]+dp[i-k];
              
   else if(i>2*k)  
   ddpp[i]=(ddpp[i-1]>p[i]+dp[i-k] ? ddpp[i-1] : p[i]+dp[i-k]);
    }
   printf("%lld\n",ddpp[n]);
          }
      return 0;
           } 

空间复杂度优化

可以将dp数组和ddpp数组换成变量dp和变量ddpp，以降低空间复杂度。