0/1背包问题

问题描述：

有n件物品，第i件质量和价格分别是w[i]和v[i](i=1,2,3...n)。要将这n件物品的某些件装入到容量为c的背包中，要求每件物品或者整个装入或者不装入，不可以分割出一部分装入。0/1背包问题就是要给出装包的方法，使得装入背包的物品的总价值最大，这个问题归结到规划的问题。

问题分析：

首先我们需要考虑的是以下几个方面：

一：背包容量c与物品重量w[i]的关系：

    背包的容量c就是物品重量w[i]的上限，也就是说只有w[i]<c的物品才可以装入背包；

二：物品的价值v[i]与物品的重量w[i]的关系：

    每件物品的重量是固定的，价值也是固定的，若是两件物品i和j同样的重量（即w[i]=w[j]），那么价值v[i]>v[j],那么优先物品i装入到背包中；

三：物品的重量w[i]和价值v[i]与背包容量c的关系:

    背包的容量c是固定的，若第i件的物品的重量w[i]<j,若装入背包，则背包的剩余容量为:c－w[i]

    1:若第i+1件的物品的重量w[i+1]<c-w[i],那么表明我们仍旧可以装入第i+1件物品，此时背包内的价值为:v[i]+v[i+1];即两件物品的价值之和；

    2:如果第i+1件物品的重量w[i]>c-w[i],那么此时背包内的价值为:v[i];

代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;
int max(int a,int b)
{
    if(a>=b){
        return a;
    }else{
        return b;
    }
}
int main()
{
    int i,j,n,c;
    int w[101],v[101],f[101][101];
    cout<<"请输入背包容量和物品数量："<<endl;
    cin>>c>>n;
    cout<<"请输入物品的重量和价值："<<endl;
    for(i=1;i<=n;i++){
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=0;j<=c;j++){
            if(j>=w[i]){
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
            }else{
                f[i][j]=f[i-1][j];
            }
        }
    }
    cout<<f[n][c]<<endl;
    return 0;
}