基于 Strassen 与 LCMA 低复杂度矩阵乘，腾讯 FalconGEMM 探索超越硬件峰值的矩阵乘优化

8 月 1 日，HyperAI 主办的 Meet AI Compiler 技术沙龙第 9 期在北京举办。本期活动聚焦 AI 编译技术的最新进展，多位来自产业界和科研机构的专家围绕编程语言、算子开发、编译优化与推理执行展开分享，呈现 AI 编译器从上层语言表达到硬件执行的协同演进。

其中，腾讯高性能计算工程师朱泓霖以「FalconGEMM: Surpassing Hardware Peaks with Lower-Complexity Matrix Multiplication」为题，分享了团队围绕低复杂度矩阵乘法开展的算法与算子优化实践。

面对 cuBLAS 等成熟算子库已经将矩阵乘性能推至接近硬件峰值、传统 Kernel 级优化空间日益收窄的问题，团队重新从算法复杂度入手，以 Strassen、AlphaTensor 等低复杂度矩阵乘算法为基础，构建统一的 LCMA（Low-Complexity Matrix Algorithms）框架，并结合 QDSL、算子融合、Persistent Kernel、细粒度调度与 Cost Model 等技术，将「减少乘法次数」的理论优势转化为 GPU 上的实际性能收益。

在 NVIDIA H20 的 FP16、BF16 测试中，FalconGEMM 在大量矩阵 Shape 上超过 cuBLAS，峰值性能提升约 10%—16%，同时在语言模型 Benchmark 中保持了与标准矩阵乘基本一致的数值精度。

朱泓霖老师与观众深度交流

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从 Strassen 出发，重新寻找矩阵乘的优化空间

矩阵乘是深度学习中最重要的基础算子之一，也通常占据模型主要的计算耗时。CUDA、MKL、cuBLAS 等软件栈已经经过多年优化，在不少场景下，单个 GEMM Kernel 的性能已经非常接近硬件峰值。这意味着，如果继续只在指令、流水线和访存层面做局部优化，能够挖掘的空间已经越来越有限。团队因此将目光重新投向经典的 Strassen 算法。

Strassen 算法由 Volker Strassen 于 1969 年提出。对于最基础的 2×2 矩阵乘，传统方法需要完成 8 次乘法，而 Strassen 通过重新组合输入矩阵，只需要执行 7 次乘法，再通过额外的加减操作恢复最终结果，相当于减少了 1/8 的乘法计算量。如果操作对象只是标量，这笔交易并不划算；但当操作单元变成子矩阵后，矩阵加法 O(N²) 与矩阵乘法 O(N³) 之间的复杂度差异，使得「少做一次矩阵乘、多做若干矩阵加法」开始具备实际价值。

如果进一步递归使用 Strassen，乘法次数还可以继续下降。例如，一个 4×4 的分块矩阵乘，传统方式需要 64 次块乘法，而两层 Strassen 只需要 49 次。不过，递归层数增加也会带来更多加法、数据组织和访存开销，因此实际系统往往只采用有限层数，在计算削减和额外开销之间寻找平衡。

2022 年，DeepMind 提出的 AlphaTensor 又进一步拓展了这一算法空间。它将矩阵乘法转化为 Tensor Decomposition 问题，并利用强化学习搜索更低 Rank 的分解方式，说明除了经典 Strassen 之外，不同 M、N、K Shape 下还可能存在大量不同的低复杂度矩阵乘算法。

但从算法发现走向工程应用，还有一个现实问题：如果每一种低复杂度算法都需要单独手写 GPU Kernel，开发和维护成本显然过高。为此，团队将这类算法统一抽象为 LCMA（Low-Complexity Matrix Algorithms），统一描述输入矩阵中哪些子块需要预先组合、实际执行多少次矩阵乘，以及中间结果最终如何组合成输出矩阵，再通过 Codegen 自动生成对应实现。

由此，问题从「如何实现一个 Strassen Kernel」，转变为「如何构建一个能够承载多种低复杂度矩阵算法、同时保持高性能的统一框架」。

与此同时，低复杂度算法还必须面对数值精度问题。Strassen 在代数上与标准矩阵乘等价，但浮点运算并不严格满足结合律，计算顺序变化可能带来额外的舍入误差。因此，LCMA 在追求性能的同时，也需要控制低精度计算中的误差传播。

有了统一的算法描述，下一步就是寻找合适的 GPU 实现方式。团队先后尝试了 CUDA、Triton、TiLang 和 QDSL。CUDA 的硬件控制能力最强，但面对大量不同 LCMA 算法时，寄存器、Shared Memory 和中间求和结构都需要针对性调整，扩展和维护成本较高。

Triton 在基础 Strassen 场景中几乎可以达到 CUDA 的性能，但当算法扩展到更大的分块结构后，需要在多个中间计算之间精确复用寄存器 Buffer，Triton 容易产生额外 Spill。TiLang 在寄存器和 Shared Memory 控制上更加灵活，但团队测试中性能仍比 Triton 低约 5%—10%。对于理论收益只有 12.5% 的基础 Strassen 而言，这一损失已经足以明显侵蚀算法收益。

最终，团队选择 QDSL 作为 FalconGEMM 的主要实现后端。QDSL 的开发粒度接近 CUDA，同时具备 Codegen 能力，并支持嵌入 PTX，既方便迁移已有高性能实现，也适合根据不同 LCMA 描述批量生成代码，为后续融合与定制优化提供了更大的空间。

从 LCMA 到 FalconGEMM，把算法收益落到 GPU 上

最直接的 Strassen GPU 实现可以分为几个环节：分别组合 A 和 B 的子矩阵，生成 7 对新的输入；执行 7 个 Batched GEMM；最后再将 7 组中间结果组合成最终矩阵 C。相比常规 GEMM，其中真正计算密集的矩阵乘部分只有原来的 7/8，因此只要前后处理的额外耗时低于省下来的 1/8 计算量，整体就有机会获得收益。

团队首先在 NVIDIA H20 上进行测试。H20 具有较高的显存带宽和相对较低的计算峰值，比较适合这种「增加部分数据处理、换取计算量下降」的方案。在约 2048³ 及以上的矩阵规模上，基础实现已经能够观察到稳定收益。但在更小的 Shape 上，输入组合、中间结果写回和输出组合的占比会迅速上升，很容易吃掉节省下来的计算量。

因此，后续优化的重点从 GEMM 本身转向了中间访存。最直接的思路是算子融合，让中间结果尽量留在片上，而不是反复写回 Global Memory。不过，输入端 Combine A/B 并不适合直接融合进 GEMM，因为同一个子块可能被多个 SM 使用，容易产生重复加载和重复求和。相比之下，Batched GEMM 与 Combine H 的后处理融合更具可行性。

真正的难点在于，Strassen 的 7 个中间结果会以不同方式贡献给最终 4 个输出子矩阵。如果以 H 为并行单元，多个 SM 可能同时向同一个 C 写回，带来严重的 Atomic 冲突；如果以 C 为并行单元，又会导致部分 H 被不同 SM 重复计算。两种方式都会抵消减少乘法带来的收益。

团队最终不再按照 Strassen 的中间结果组织任务，而是按照矩阵的空间坐标进行分组：将 7 组 Batched GEMM 中处于相同位置的 7 个乘法 Tile 组成一个 Group，并放在同一个 SM 上执行。这样，一个 Group 完成相关计算后，可以直接在片上将结果累加至最终 C，既省去了中间结果写回 Global Memory，也避免了明显的跨 SM 写冲突。

这一融合方式大幅削减了 Strassen 带来的额外访存，但更大的 Group 粒度又带来了负载不均衡。以 4096³ 矩阵乘为例，粗粒度调度可能造成约 21% 的额外 Wave 浪费，甚至超过 Strassen 本身 12.5% 的计算削减。

为此，团队借鉴 Stream-K 的思路，将一个 Group 在必要时拆分到两个 SM 上执行。调度层面仍以 Group 为基本单位，但实际执行可以进一步细化到 Tile，从而减少尾部 SM 空转，在保留 Group 级数据复用优势的同时提升硬件利用率。

不过，解决负载均衡后，新的问题随之出现：L2 Cache 抖动。Group 被拆分后，同一个 Wave 中可能混入不同类型的中间乘法，访问的数据彼此独立，导致 L2 命中率明显下降。与此同时，GEMM 已经高度占用 Tensor Core，当访存压力也接近满载时，H20 会触碰功耗墙。实测中，核心频率从约 1.8 GHz 降至 1.6 GHz，计算性能随之下降，部分融合收益再次被抵消。

针对 L2 Cache 抖动，团队进一步调整拆分后的 Group 顺序，尽可能让同一个 Wave 内处理相同类型的中间结果，只在少量尾部 Wave 中出现混排。这样既保留了细粒度调度带来的负载均衡，也恢复了较好的 L2 数据局部性，最终消除了明显的降频问题。

值得一提的是，这些调度优化的重要基础是 Persistent Kernel。与普通 Kernel 中 CTA 完成一个 Block 后退出不同，Persistent Kernel 让 CTA 长时间驻留在 SM 上，持续领取后续任务，使开发者能够更灵活地控制 Group 和 Tile 的执行顺序，并进行片上资源复用。前面的任务拆分、调度重排和缓存优化，也因此能够在同一个 Kernel 内完成。

从缓存重排到 Cost Model，峰值性能提升10%-16%

经过融合、负载均衡和缓存重排后，FalconGEMM 已经能够在更多 Shape 上释放 LCMA 的计算优势。但 LCMA 并不会在所有情况下都优于普通 GEMM：它的本质仍然是以额外的数据处理换取更少的乘法计算。如果原始 GEMM 本身已经受到访存限制，继续减少计算并不能带来足够收益；只有在计算密度较高时，低复杂度算法才更具优势。

因此，团队进一步设计了一个类似 Roofline 的 Cost Model，用于决定什么时候采用 LCMA，以及在多种 LCMA 中选择哪一种。由于目标是「选对算法」而非精确预测执行时间，模型主要分析不同方案的计算量、访存量，并结合目标 GPU 的算力与带宽，估算其所处的计算/访存瓶颈区间。

在这一模型中，低复杂度算法减少的乘法量对应计算侧收益，额外的数据组合和重复访存则构成新的内存开销；而前述融合优化，又进一步压缩了这部分访存成本。由此，FalconGEMM 可以根据不同 M、N、K Shape，判断常规 GEMM 与不同 LCMA 方案的收益边界，并自动选择更合适的实现。

结合 QDSL 的 Codegen 能力，整个框架最终形成了一套较完整的执行流程：首先基于 LCMA 描述生成相应的融合 Persistent Kernel，通过融合减少中间访存；随后由 Cost Model 针对具体 Shape 选择合适的矩阵乘算法；最后由 QDSL 自动生成并编译目标代码。这样一来，LCMA 不再只是某一种固定的 Strassen 实现，而是形成了可以根据工作负载动态选择的算法空间。

性能测试主要在 NVIDIA H20 上进行。结果显示，在多种低精度矩阵乘场景下，FalconGEMM 在大量 Shape 上超过 cuBLAS，峰值性能提升约 10%—16%。完成 Group 拆分和缓存重排后，大 Shape 上能够稳定获得低复杂度算法带来的计算收益，小 Shape 的表现也得到改善，并避免了因 L2 Cache 抖动触发功耗墙而导致的降频。

从 Cost Model 的选择结果来看，在大部分跨过 LCMA 收益阈值的 Shape 上，模型都能够选择到性能更优的实现，说明「算法选择+融合 Kernel」的方式能够较好地覆盖不同计算密度的矩阵乘场景。

除了性能，数值精度也是 FalconGEMM 必须验证的问题。团队早期在低精度实验中曾出现较明显的误差，核心原因在于浮点数的累加顺序发生变化。例如，A+C+B−C 在代数上等于 A+B，但在有限精度浮点计算中并不一定严格相等。

进一步分析发现，真正显著的误差主要来自低精度 Cast，而不是 FP32 累加本身。在常见的 FP16/BF16 输入场景中，矩阵乘通常先以 FP32 完成累加，再转换回较低精度；如果中间结果频繁 Cast，FP32 尾数信息会被不断舍弃。

融合实现反而缓解了这一问题。WGMMA 的输出保持 FP32 精度，FalconGEMM 直接在片上以 FP32 对最终 C 进行组合和累加，直到计算结束后再统一 Cast 回目标精度。相比多个独立 Kernel 之间反复写回低精度中间结果，这种方式减少了一次或多次精度转换，使计算顺序变化带来的误差更多停留在 FP32 的低位。

在语言模型 Benchmark 中，使用 FalconGEMM 与标准矩阵乘得到的最终得分几乎一致，仅存在非常微弱的差异，表明当前实现并未带来明显的模型精度下降。

下一阶段，团队计划继续推进两个方向：一是进一步融合 Combine A/B，通过调整 Batch Group 和 K Loop 顺序，继续减少输入中间结果访存；二是将 LCMA 扩展至 Attention。Flash Attention 同样具有较高的计算访存比，如果低复杂度矩阵算法能够与其分块和流水线进一步结合，也可能带来新的性能空间。

从 Strassen、AlphaTensor 到 LCMA 和 FalconGEMM，这项工作的意义并不只是让已经高度优化的 GEMM 再快几个百分点。它提供了另一种思路：当 Kernel 本身已经逼近硬件上限时，性能优化不仅可以继续向下挖掘指令和流水线，也可以向上重新寻找算法复杂度上的空间，再通过编译、融合和调度，将理论上的计算削减真正转化为运行时间收益。