计算定点到曲线上最近的点

最新推荐文章于 2024-05-13 21:35:52 发布

Hunter_pcx

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分类专栏：算法相关文章标签：几何学

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如图所示要求曲线f(x)上距离定点A最近的点，假设这个最近点为B点，先说结论（如果对推导不敢兴趣的就不用往下看了）：

$\left\{\begin{matrix} x_B=x_A+D_x & & \\ y_B=y_A+D_y & & \end{matrix}\right.$

其中Dx、Dy为如下方程组的解：

$\left\{\begin{matrix} y_A+D_y=f(x_A+D_x) & & \\ \frac{D_y}{D_x}\bullet f'(x_A+D_x)=1 & & \end{matrix}\right.$

下面我们来推导这个公式，如上图所示，很容易推导出 $\gamma =\alpha$ ，且 $\alpha +\beta =\pi /2$ ,

所以 $\beta +\gamma =\pi /2$ 。因此得到如下关系：

$tan(\beta )*tan(\gamma )=1$

$tan(\gamma )=f'(x_A+D_x)$

$tan(\beta )=\frac{D_y}{D_x}$

由于B点在曲线上，所以有：

$y_A+D_y=f(x_A+D_x)$

联立上面的公式就可以推导出我们的结论了。

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