计算定点到曲线上最近的点

 

 如图所示要求曲线f(x)上距离定点A最近的点,假设这个最近点为B点,先说结论(如果对推导不敢兴趣的就不用往下看了):

\left\{\begin{matrix} x_B=x_A+D_x & & \\ y_B=y_A+D_y & & \end{matrix}\right.

其中Dx、Dy为如下方程组的解:

\left\{\begin{matrix} y_A+D_y=f(x_A+D_x) & & \\ \frac{D_y}{D_x}\bullet f'(x_A+D_x)=1 & & \end{matrix}\right.

 下面我们来推导这个公式,如上图所示,很容易推导出\gamma =\alpha,且\alpha +\beta =\pi /2,

所以\beta +\gamma =\pi /2。因此得到如下关系:

tan(\beta )*tan(\gamma )=1

tan(\gamma )=f'(x_A+D_x)

tan(\beta )=\frac{D_y}{D_x}

由于B点在曲线上,所以有:

y_A+D_y=f(x_A+D_x)

联立上面的公式就可以推导出我们的结论了。

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