洛谷P1251

关于构图:
这是一道最小费用(费用指单价)最大流的题目。
首先,我们拆点,将一天拆成晚上和早上,每天晚上会受到脏餐巾(来源:当天早上用完的餐巾,在这道题中可理解为从原点获得),每天早上又有干净的餐巾(来源:购买、快洗店、慢洗店)。

1.从原点向每一天晚上连一条流量为当天所用餐巾x,费用为0的边,表示每天晚上从起点获得x条脏餐巾。
2.从每一天早上向汇点连一条流量为当天所用餐巾x,费用为0的边,每天白天,表示向汇点提供x条干净的餐巾,流满时表示第i天的餐巾够用 。
3.从每一天晚上向第二天晚上连一条流量为INF,费用为0的边,表示每天晚上可以将脏餐巾留到第二天晚上(注意不是早上,因为脏餐巾在早上不可以使用)。
4.从每一天晚上向这一天+快洗所用天数t1的那一天早上连一条流量为INF,费用为快洗所用钱数的边,表示每天晚上可以送去快洗部,在地i+t1天早上收到餐巾 。
5.同理,从每一天晚上向这一天+慢洗所用天数t2的那一天早上连一条流量为INF,费用为慢洗所用钱数的边,表示每天晚上可以送去慢洗部,在地i+t2天早上收到餐巾 。
6.从起点向每一天早上连一条流量为INF,费用为购买餐巾所用钱数的边,表示每天早上可以购买餐巾 。 注意,以上6点需要建反向边!3~6点需要做判断(即连向的边必须<=n)

为什么是早上向汇点连边,因为如果是晚上向汇点连容量为r[i]的边,那是什么意思嘛…晚上提供r[i]条条脏毛巾?
还有就是,应该是从源点向每天早上连容量为inf费用为p的边…向晚上连的话同样也是….什么意思嘛…还有就是要用到longlong….
总之,挺多坑的

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef  long long ll;
struct edge{
    int to,cap,cost,rev;//终点,容量,费用,反向边
};
vector<edge>G[5010];
ll dis[5010];
int prevv[5010],preve[5010];ll flow=0,cost=0;//最短路中前驱节点和对应的边
bool inque[5010];
void add(int from,int to,int cap,int cost)
{
    G[from].push_back(edge{to,cap,cost,(int)G[to].size()});
    G[to].push_back(edge{from,0,-cost,(int)G[from].size()-1});//注意反向边的加法!!-cost和cap=0!!
}
bool spfa(int s,int t)
{
    memset(dis,0x3f, sizeof(dis));memset(inque,0,sizeof(inque));
    queue<int>que;que.push(s);dis[s]=0;
    while(!que.empty()){
        int t=que.front();que.pop();inque[t]=false;
        for(int i=0;i<G[t].size();i++){
            edge e=G[t][i];
            if(e.cap&&dis[e.to]>dis[t]+e.cost){
                dis[e.to]=dis[t]+e.cost;
                prevv[e.to]=t;preve[e.to]=i;
                if(!inque[e.to]){
                    que.push(e.to);inque[e.to]=true;
                }
            }
        }
    }
    if(dis[t]==0x3f3f3f3f3f3f3f3f)
        return false;
    int d=0x7f7f7f7f;
    for(int v=t;v!=s;v=prevv[v])
        d=min(d,G[prevv[v]][preve[v]].cap);//全最短路中的最小流量限制就是本次总的流量限制
    flow+=d;cost+=d*dis[t];
    for(int v=t;v!=s;v=prevv[v]){
        edge&e=G[prevv[v]][preve[v]];//更新路径信息
        e.cap-=d;
        G[e.to][e.rev].cap+=d;
    }
    return true;
}
void mincostmaxflow(int s,int t)
{
    while(spfa(s,t));
}
int main()
{
    const int INF=0x7f7f7f7f;
    int N,i,j,k,r[2005];
    cin>>N;
    for(i=1;i<=N;i++)scanf("%d",&r[i]);
    int p,m,f,n,s;cin>>p>>m>>f>>n>>s;
    for(i=1;i<=N;i++)
        add(0,i,r[i],0),add(i+N,4500,r[i],0),add(0,i+N,INF,p);
    for(i=1;i<=N;i++){
        if(i+m<=N)
            add(i,i+m+N,INF,f);//注意这里连边应该是inf,
        // 因为晚上可能堆积了前几天晚上积累下来的餐巾,谁也不知道有多少
        if(i+n<=N)
            add(i,i+n+N,INF,s);
        if(i+1<=N)
            add(i,i+1,INF,0);
    }
    mincostmaxflow(0,4500);
    cout<<cost<<endl;

    return 0;

}
### 关于动态规划 (Dynamic Programming, DP) 的解决方案 在解决洛谷平台上的编程问题时,尤其是涉及动态规划的题目,可以采用以下方法来构建解决方案: #### 动态规划的核心思想 动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解复杂问题的方法。其核心在于存储重复计算的结果以减少冗余运算。通常情况下,动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。 对于动态规划问题,常见的思路包括定义状态、转方程以及边界条件的设计[^1]。 --- #### 题目分析与实现案例 ##### **P1421 小玉买文具** 此题是一个典型的简单模拟问题,可以通过循环结构轻松完成。以下是该问题的一个可能实现方式: ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; // 输入购买数量n double p, m, c; cin >> p >> m >> c; // 输入单价p,总金额m,优惠券c // 计算总价并判断是否满足条件 if ((double)n * p <= m && (double)(n - 1) * p >= c) { cout << "Yes"; } else { cout << "No"; } return 0; } ``` 上述代码实现了基本逻辑:先读取输入数据,再根据给定约束条件进行验证,并输出最终结果[^2]。 --- ##### **UOJ104 序列分割** 这是一道经典的区间动态规划问题。我们需要设计一个二维数组 `f[i][j]` 表示前 i 次操作后得到的最大价值,其中 j 是最后一次切割的位置。具体实现如下所示: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 5e3 + 5; long long f[MAXN], sumv[MAXN]; int a[MAXN]; int main(){ ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); int n,k; cin>>n>>k; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]; for(int i=1;i<=n;i++)sumv[i]=sumv[i-1]+a[i]; memset(f,-0x3f,sizeof(f)); f[0]=0; for(int t=1;t<=k;t++){ vector<long long> g(n+1,LLONG_MIN); for(int l=t;l<=n;l++)g[l]=max(g[l-1],f[t-1][l-1]); for(int r=t;r<=n;r++)f[r]=max(f[r],g[r]+sumv[r]*t); } cout<<f[n]<<'\n'; return 0; } ``` 这段程序利用了滚动数组优化空间复杂度,同时保持时间效率不变[^3]。 --- ##### **其他常见问题** 针对更复杂的路径覆盖类问题(如 PXXXX),我们往往需要结合一维或多维动态规划模型加以处理。例如,在某些场景下,我们可以设定 dp 数组记录到达某一点所需最小代价或者最大收益等指标[^4]。 --- ### 总结 以上展示了如何运用动态规划技巧去应对不同类型的算法挑战。无论是基础还是高级应用场合,合理选取合适的数据结构配合清晰的状态转换关系都是成功解决问题的关键所在。
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