欧拉函数

相关题目：

POJ2407、POJ2478、POJ3090、POJ3696

 

详细信息参考其他关于欧拉函数的资料。

 

欧拉递推公式：

 

用factor记录某个数是否是质数，如果不是则记录其最小质因子。

若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则E(N)=E(N/a)*a;
若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则E(N)=E(N/a)*(a-1);

 

const int maxn = 1000;

int factor[maxn+5];
int prime[maxn+5];
int pct;

int e[maxn+5];

void init()
{
	int i, j;
	memset(factor, 0, sizeof(factor));
	pct = 0;
	factor[0] = factor[1] = 1;
	for (i=2; i<=maxn; i++)
	{
		if (factor[i]==0)
			prime[pct++] = i;
		for (j=0; j<pct && i*prime[j]<=maxn && (prime[j]<=factor[i] || factor[i]==0); j++)
		{
			factor[i*prime[j]] = prime[j];
			if (i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}

void getEuler()
{
	int i, d;
	for (i=2; i<=maxn; i++)
	{
		if (factor[i]==0)
		{
			e[i] = i-1;
		}
		else
		{
			d = i/factor[i];
			if (d%factor[i]==0)
			{
				e[i] = e[d] * factor[i];
			}
			else
			{
				e[i] = e[d] * (factor[i]-1);
			}
		}
	}
	e[1] = 0;
}

直接求某数的欧拉值：

 

int Euler(int n)
{
	int i, res = n;
	for (i=2; i*i<=n; i++)
	{
		if (n%i==0)
		{
			n /= i;
			res -= res/i;
			while(n%i==0)
				n /= i;
		}
	}
	if (n>1)
		res -= res/n;
	return res;
}

 

P.S.

      对于较大的数的快速幂取模需要用到乘法取模：

 

__int64 mmod(__int64 a,__int64 b,__int64 n)//乘法取模  
{  
    a %= n;  
    __int64 res = 0;  
    while(b)  
    {  
        if(b&1)  
        {  
            res += a;  
            if(res>=n)  
                res -= n;  
        }  
        a <<= 1;  
        if(a>=n)  
            a -= n;  
        b >>= 1;  
    }  
    return res;  
}  
  
__int64 exmod(__int64 a,__int64 b,__int64 n)//快速幂取模  
{  
    a %= n;  
    __int64 res = 1;  
    while(b>=1)  
    {  
        if(b&1) res = mmod(res, a, n);  
        a = mmod(a, a, n);  
        b >>= 1;  
    }  
    return res;  
}

 

解题报告：

 

POJ2407：最简单的欧拉函数

POJ2478、POJ3090：求某数范围内互质的对数。POJ3090需要注意开始的一些特殊值，同时需要特别处理一下。

POJ3696：求解10^x = 1 (mod 9*L/gcd(L,8))的满足x>0的最小解。其中x=Euler(9*L/gcd(L,8))。枚举x的因子时只需枚举到其根号。同时使用快速幂取模。