背包问题详解

导言

部分背包问题

0 1 背包问题

完全背包问题

多重背包问题

背包的分类

一级包，二级包和三级包，显然其中三级包的容量是最大的，吃鸡必备装备啊！

但是我们需要研究的是这样的问题：

各种背包

背包问题大概分下面这几种

• 部分背包问题
• 0 1 背包问题
• 完全背包问题
• 多重背包问题

问题

为什么要学习背包问题呢？

• 背包问题已经是一个很经典而且讨论很广泛的算法问题了。
• 背包问题的解决方法背后其实隐藏了两种我们比较常见的算
  法解决思路，动态规划和贪心算法。

---

部分背包

定义：

部分背包问题：

给出 n 个物体，第 i 个物体重量为 wi, 价值为 vi。在总重量
不超过 W 的情况下让总价值尽量高，每一个物体都可以只取走
一部分，价值和重量按比例计算。

分析

因为物体既有重量又有价值，所以不能简单的先拿轻的 (轻
的可能价值也小)，也能先拿价值大的 (它可能特别重)，而因该
综合考虑两个因素。一种直观的贪心策略就是：优先拿“价值除
以重量”最大的，直到重量和正好为 W

那么你作为一个非常优秀的 ACMer，肯定应该知道按照什
么顺序拿物品的把。没错，看着值钱的先抢！

那么问题很简单咯 ，把” 值钱” 的东西排在前面，每次拿抢
的时候，问问看背包君够不够承受得住，承受的了，就全部抢过
来。承受不住，那么只能按照所能承受的重量，取物品的一部分
了。当然价值也得按照比例来哦

部分背包没什么好讲的，主要是一个贪心策略，就是优先选取性价比最高的来装入背包

---

01背包

0 1 背包问题:

有 n 种重量和价值分别为 wi ,vi 的物品，从这些物品中挑选
总重量不超过 W 的物品，求出挑选物品价值总和的最大值。在
这里，每种物品只可以挑选一件

限制条件

• $1 ≤ n ≤ 100$
• $1 ≤ wi; vi ≤ 100$
• $1 ≤ W ≤ 10000$

分析一下

$这道题就是各个物品“选”与“不选”的组合，因此被称为0 − 1 背包问题$ $如果检查 n 个物品所有“选”与“不选”的组合$
$算法的复杂度为 O(2^n)$ $当物品的大小以及背包的大小均为正数$
$则 0 − 1 背包问题可以用动态规划法以 O(nW) 的效率解决。$

状态转移方程：

$如果我们按照如下的方式来定义递推关系的话，刚刚关于 i 的循环就能正向进行$
$我们定义\quad dp[i+1][j]:= 从 0 到 i 这 i+1 个物品中选出 总重量不超过\ j\ 的物品时总价值的最大值$
$很显然 dp[0][j]=0，因为你没物品可取的时候背包的价值为 0$

所以我们可以写出下边的状态转移方程
$\\ \\ \\ $

$$\large dp[i+1][j]= \begin{cases} dp[i][j] & (j<w[i]) \\ max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]) & \text{其他} \end{cases}$$
$\\ \\ \\ $

代码实现1

根据这个状态转移方程我们可以写出这个代码，复杂度$O(nW)$

for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<=W;j++)
        if(j<w[i])  
            dp[i+1][j]=dp[i][j];
        else
            dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
printf("%d\n",dp[n][W]);

举个栗子

看一下这个例子

由于你非常优秀, 所以一眼就能够看出来这个问题的答案是多少
但是我们需要研究一下解决 01 背包的过程中 dp 数组的状态转移过程
所以我们来用这个简单地样例来观察一下 dp 数组的状态是怎么变化的

取第 0 个物品 $(w_0; v_0) = (2; 3)$

取第 0 个物品 $(w_0; v_0) = (2; 3)$

取第1个物品$(w_1,v_1)=(1,2)$

取第1个物品$(w_1,v_1)=(1,2)$

取第1个物品$(w_1,v_1)=(1,2)$

取第1个物品$(w_1,v_1)=(1,2)$

取第2个物品$(w_2,v_2)=(3,4)$

取第2个物品$(w_2,v_2)=(3,4)$

取第3个物品$(w_3,v_3)=(2,2)$

取第3个物品$(w_3,v_3)=(2,2)$

再啰嗦一下

希望大家能够根据上边的例子完全的理解01背包的实现过程，因为01背包非常重要的，它是背包问题的基础，基础牢固对其他动态规划的学习也有帮助的。

01背包代码实现2

• 此外，01背包的还可以通过两个数组滚动来实现重复利用

int dp[2][MAXN];
for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<=W;j++)
       if(j<w[i])
          dp[(i+1)&1][j]=dp[i&1][j];
       else
  dp[(i+1)&1][j]=max(dp[i&1][j],dp[i&1][j-w[i]]+v[i]);

printf("%d\n",dp[n&1][W]);

01背包代码实现3

• 当然，还可以通过不断重复用一个数组来实现

int dp[MAXN];
for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=W;j>=w[i];j--)
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
printf("%d\n",dp[W]);

---

完全背包

问题提出

$\large 有n种重量和价值分别为$w[i],v[i]$的物品$
$\large 从这些物品中挑选总重量不超过$W$的物品$
$\large 求出挑选物品价值总和的最大值。在这里，每种物品可以挑选任意件$

• 限制条件
  
  • $1 \le n \le 100$
  • $1 \le w_i,v_i \le 100$
  • $1 \le W \le10000$

递推关系

$\large 这次同一类的物品可以挑选任意多件了。我们再试着写出递推关系。$
$\large 令\ dp[i+1][j] = 从前i种物品中挑选总重量不超过\ j\ 时总价值的最大值。那么递推关系就为：$

$\large dp[0][j]=0$

$\large dp[i+1][j]=max\{dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i] | 0 <= k \}$

如果按照这个递推关系来写程序话，代码是这样子的：

• 完全背包代码实现1

for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<=W;j++)
        for(int k=0;k*w[i]<=j;k++)
    dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]);
printf("%d\n",dp[n][W]);

这个代码并不友好，拥有三重循环,时间复杂度是$O(nW^2)$

上边的代码有很多重复计算，将状态转移方程化简一下 得到的是这样子的

这样一来就不需要k的循环了，便可以用$O(nW)$时间解决问题

• 完全背包代码实现2

for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<=W;j++)
        if(j<w[i])
            dp[i+1][j]=dp[i][j];
        else
            dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
printf("%d\n",dp[n][W]);

举个栗子

我再来举个栗子
如图所示

$\large 你当然能够一眼看出来背包的最大价值是多少$
$\large 为了帮助你理解完全背包状态的转移过程$
$\large 我们可以根据这个例子来看一下dp数组的状态是怎么转移的$

取第0个物品$(w_0,v_0)=(3,4)$

取第0个物品$(w_0,v_0)=(3,4)$

取第0个物品$(w_0,v_0)=(3,4)$

取第1个物品$(w_1,v_1)=(4,5)$

取第1个物品$(w_1,v_1)=(4,5)$

取第2个物品$(w_2,v_2)=(2,3)$

取第2个物品$(w_2,v_2)=(2,3)$

完全背包代码实现2

• 当然我们也可以像01背包那样只开2个二维数组通过滚动来实现数组的重复利用

int dp[2][MAXN];
for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<=W;j++)
        if(j<w[i])
            dp[(i+1)&1][j]=dp[i&1][j];
        else
dp[(i+1)&1][j]=max(dp[i&1][j],dp[(i+1)&1][j-w[i]]+v[i]);

printf("%d\n",dp[n][W]);

完全背包代码实现3

• 只开一维数组也可以的

int dp[MAXN];
for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=w[i];j<=W;j++)
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
printf("%d\n",dp[W]);

上边的代码是不是很熟悉？
上边的代码是不是很熟悉？没错，和01背包的代码除了第二个for循环不一样之外，其他的地方一模一样！
为什么会是这个样子呢？

完全背包与01背包关于第二个循环的分析

• 01背包的是第一个的代码，完全背包的是第二个代码

for(int j=W;j>=w[i];j--)
for(int j=w[i];j<=W;j++)

$\large 首先我们来想一下为什么\ 01\ 背包中要按照j递减的次序来循环。$
$\large 让j递减是为了保证第i次循环中的状态\ dp[i][j]\ 是由状态\ dp[i-1][j-w[i]]\ 递推而来的。$
$\large 换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，$
$\large 依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果\ dp[i-1][j-w[i]]\ .$

• 01背包的是第一个的代码，完全背包的是第二个代码

for(int j=W;j>=w[i];j--)
for(int j=w[i];j<=W;j++)

$\large 而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件$

$\large 所以在考虑“加一件第i种物品”这种策略时$

$\large 却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果dp[i][j-w[i]]$

$\large 所以就可以并且必须采用v递增的顺序进行循环$

$\large 这就是这个简单程序为何成立的道理$

---

多重背包

问题与应用

有n种重量和价值分别为$w[i]，v[i]$的物品，从这些物品中挑选总重量不超过$W$的物品，求出挑选物品价值总和的最大值。不过在这里，每种物品最多可以挑选$m_i$件

• 限制条件
  
  • $1 \le n \le 100$
  • $1 \le w_i,v_i \le 100$
  • $1 \le m_i \le10000$
  • $1 \le W \le10000$

状态转移方程

$\large dp[i][j]:=\text{ 到第i个物品为止总重量不超过j的所有选法中最有可能的最大值}$

$\large dp[i+1][j]=max(dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]|0\le k \le m[i] )$

分析分析

对第i种物品有$m_i+1$件策略：取0件，取1件…….取$m_i$件，复杂度是$O(nmW)$，无法在规定时间内求解

---

一种好想好写的基本方法是将其转化为01背包问题求解：

把第$i$件物品换成$m_i$件01背包中的物品，也就是说：

我们将$m_i$件物品，变成$0\dots m_i$个物品，

则得到的物品数为$\sum m_i$的01背包问题

如果直接求得话，复杂度仍然是$O(nmW)$

---

但是我们希望将它转换成01背包问题之后，能够想完全背包一样降低复杂度。

考虑二进制的思想，把第i件物品换成若干件物品，

使得原问题中的第i件物品可取的每一种策略——取0…$m_i$件

均能够等价于取若干件物品代换之后后的物品，另外，取$m_i$件的策略必不能够出现

---

将$m_i$分解为如下形式:

$$m_i=1+2+4+\cdots+2^k+a(0\leq a\le 2^{k+1})$$
由于$1,2,\dots,2^k$ 的组合可以表示出 $0 \cdots 2^{k+1}-1$ 的所有整数，因此 $1,2,\cdots 2^k,a$ 可以表示出所有 $0~m_i$ 的所有整数

因此，我们把$m_i$个重量和价值分别为$w_i$和$v_i$的物品，
看成重量和价值分别为$w_i * x\;,v_i*x(x=1,2,\cdots,2^k,a)$的$k+2$个物品。

这样，物品的总个数就变为$O(n\; log\ m)$个，
使用一般的01背包DP可以在$O(nW\; log m)$时间内求出答案

---

举个栗子

比如说给我的第i个物品，重量为2，价值100，数量13；
按照上边二进制的形式将13分解之后$13=1+2+4+6$所以我们就得到了4个物品，这四个物品分别是

系数	重量w	价值v	备注
1	2	100	1个i
2	4	200	2个i
4	8	400	4个i
6	12	600	6个i

我们可以通过对这四个物品取或者不取
可以达到对第i个物品取$0,1,2\cdots 13$件的操作
所以我们的目的就达成了，将其变成01背包的问题！

多重背包代码实现

for(int i=0;i<n;i++){
    int num=m[i];//用来找a 
    for(int k=1;num>0;k<<=1){
        int mul=min(k,num);
        for(int j=W;j>=w[i]*mul;j--){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]*mul]+v[i]*mul); 
        }
        num-=mul;
    }
}
printf("%d\n",dp[W]);

---

个人拙见，如果有错误请在留言区指出
emmm，希望对大家学习背包有所帮助