菜鸡HP的被虐日常（3）八仙过海各显神通

$ByHolyPush$

话说法力无边的$cj$扔给愚蠢的$HP$的这道题，是这样的：
已知$\angle CAB=60°,\Delta BCP$是边长为$2$的等边三角形，求$AP$最大值。
听说$cj$是因为看到愚蠢的$HP$因为多日未鸡导致的失心疯上传了$0$分作业而给他的惩罚$\dots \dots$

废话就不多说了，因为现在是在学解三角形，所以第一时间想到的就是暴算啦！

设随便一个角，比如$\angle CBA=\alpha$，那么在$△ACB$中运用正弦定理，$\frac{AC}{sin\alpha }=\frac{CB}{sin\angle CAB}$，解得$AC=\frac{4\sqrt{3}}{3}sin\alpha$。再在$\Delta ACP$中运用余弦定理，
$A{P}^2=A{C}^2+C{P}^2-2AC\times CPcos(\angle ACB+\angle BCP)$
$=\frac{16}{3}si{n}^2\alpha +4-\frac{16\sqrt{3}}{3}sin\alpha cos(180°-\alpha )$
$=\frac{16}{3}\times \frac{1-cos2\alpha }{2}+4+\frac{8\sqrt{3}}{3}sin2\alpha$
$=\frac{8\sqrt{3}}{3}sin2\alpha -\frac{8}{3}cos2\alpha +\frac{20}{3}$
$=\frac{16}{3}sin(2\alpha -30°)+\frac{20}{3}$
当且仅当$\alpha =60°$时，取最大值$12$，即$A{P}^2\le 12$
故$AP\le 2\sqrt{3}$

正当愚蠢的$HP$干脆利落地放下笔打算舒服一阵时，发现坐在他面前的所有人都已经睡着了。思思大哭$!$

愚蠢的$HP$用他的余光偷瞄了一眼聪明的$txl$的做法，发现这个做法比自己的破方法好多了惹。

聪明的$txl$看到这个图形，巧妙地想到了初中常用的技巧：做对称点！

作$P$关于$AC,AB$的对称点$P_1,P_2$，由对称的性质可以得到$A{P}_1=A{P}_2=AP,C{P}_1=B{P}_2=BC=2，\angle CA{P}_1=\angle CAP,\angle BA{P}_2=\angle BAP$，故$\angle P_{1}A{P}_2=120°$。$\Delta P_{1}A{P}_2$是一个顶角为$120°$的等腰三角形厚！如果我们要求$AP$最大值，只要求$A{P}_1$最大值，也只需要求$P_1{P}_2$最大值噜！
根据折线，可以得到$P_1{P}_2\le P_{1}C+CB+B{P}_2=6$，又因为在顶角为$120°$的等腰三角形中，底边是腰长的$\sqrt{3}$倍，所以$A{P}_1\le 2\sqrt{3}$，也就是$AP\le 2\sqrt{3}$。泰简单勒惹！

愚蠢的$HP$心中出现了$txl$高大伟岸的形象，太帅了惹！！正打算到讲台上表演一段活零活现的舞蹈，却发现太上老君$lar$也有神奇的做法！

将图形补全为一个大的正三角形，根据初中的知识可以得到$\Delta ABC≌\Delta ECP$。不妨设$AC=EP=x,AB=EC=y$。则在$\Delta AEP$中使用余弦定理可以得到$A{P}^2=(x+y{)}^2+x^2-2(x+y)xcos60°=x^2+y^2+xy$。而在$\Delta ABC$中使用余弦定理可以得到$x^2+y^2-xy=4$，所以$A{P}^2=4+2xy$。要求出$AP$的最大值，只需要求出$xy$最大值即可。那怎么求呢？太上老君$lar$同样给出了两种方法。

$\because x^2+y^2-xy=(x-y{)}^2+xy=4$，
$\therefore xy=4-(x-y{)}^2\le 4$，当且仅当$x=y=2$时取等

看到既有$x^2+y^2$，又有$xy$，而且还是个等式，除了配凑完全平方外，是不是还可以想到使用不等式？

$4=x^2+y^2-xy\ge 2xy-xy=xy$，故$xy\le 4$，所以$A{P}^2\le 12$，即$AP\le 2\sqrt{3}$，在$x=y=2$时取到等号。又是一种有趣的做法！

愚蠢的$HP$：应该没有其他做法了吧……
无敌的一哥：不，我还有！

无敌的一哥：既然$BCP$三个点动来动去太烦，不如考虑一下相对运动，$BCP$静止，$A$点动？
愚蠢的$HP$：$！$
无敌的一哥：$\angle CAB$的大小为固定的$60°$，所以$A$点在一个以$BC$为弦的圆上运动。要求的即是圆外一点$P$到圆上一点的最远距离……
愚蠢的$HP($打断$):$不不不一哥你还是让我自己想吧。
无敌的一哥：哦，好吧。顺便说一句，你还可以取$△BCP$的重心，通过四点共圆和三角形两边之和大于第三边来做噢！$Bye$~~~$Da.$
愚蠢的$HP$跪倒在地……真是八仙过海，各显神通啊……

欲知后事如何，倾听下回因式分解。