菜鸡HP的被虐日常（2）难搞的四边形面积②

$ByHolyPush$

话说法力无边的$cj$进来之后让愚蠢的$HP$顶礼膜拜。
先再次放上原题以及它的图：
在$Rt\Delta ABC$中，$B$为直角，$A=60°$，$AB=4\sqrt{3}$，点$D$在边$BC$上，且$BD=2$，点$G$在边$AB$上，点$E、F$在边$AC$上，线段$DE$与$GF$相交于点$O$，$DE=GF$，且$\angle EOF=60°$，则四边形$DGEF$面积的取值范围是$?$

$cj$在把她的解题过程告诉聪明的$txl$后，聪明的$txl$感到颜面扫地并且为他没有想到那么简单的方法磕了$13$个头。他决定私藏此方法，但是在愚蠢的$HP$的死缠烂打之下，他还是妥协了惹。

看到$\angle A=60°，\angle EOF=60°$，是不是应该想到点什么厚$？$

愚蠢的$HP：$四边形中一个角和它对角的补角相等，这看起来是四点共圆！
四点共圆，能带来什么呢？

聪明的$txl$：既然是四点共圆，那么我们再用一下刚刚那条性质，可以得到$\angle AGF=\angle DEC$。不如记为$\theta$吧。
然后貌似依然没有任何思路……那依然秉承暴力的原则，把能求的都求出来。
但是我们的头脑依然没有被淋淋迷惑，我们觉得$GF=DE$这个条件是时候该派上用场了。那我们来看看在$\Delta AGF,\Delta CDE$里能不用正弦定理。
答案是显然的。

在$\Delta AGF$中，$\frac{GF}{sin60°}=\frac{AF}{sin\theta }$
在$\Delta CDE$中，$\frac{DE}{sin30°}=\frac{CD}{sin\theta }$

聪明的$txl$：你现在能看出来什么了吗？
愚蠢的$HP:M\grave{o}d\acute{e}\dots \dots$
聪明的$txl$：笨！两个式子除一除不就好了吗！
愚蠢的$HP:！$

两式相除，左边因为$GF=DE，$只剩下$\frac{\sqrt{3}}{3}$，右边则只剩下$\frac{AF}{10}$
惊奇地发现$AF=\frac{10\sqrt{3}}{3}$，是个定值！也就是说，$F$点的位置已经被我们确定下来了。

那求$GF$的范围不是易如反掌？最短就是$GF\perp AB$的时候，最大就是$G,B$重合的时候，即$GF\in [5,\frac{2\sqrt{93}}{3}]$。正当愚蠢的$HP$打算写上答案的时候$\dots \dots$

聪明的$txl$：笨！你就$GF$要范围，$DE$没有存在感的吗？
愚蠢的$HP:！$

考虑$DE$的范围，最小的时候为$DE\perp AC$的时候，最大的时候为$E,C$重合的时候。即$DE\in [5,10]$。

愚蠢的$HP$：$Ah$，那我们就要把$DE,GF$的范围整合一下，取个交集，也就是$[5,\frac{2\sqrt{93}}{3}]$。虽然答案和第一个是一样的，但是第二步是完全不能少的。代入公式中，$S\in [\frac{25\sqrt{3}}{4},\frac{31\sqrt{3}}{3}]$，和上一次的答案一样，天啦噜！我们对了惹！

说罢，$cj$又扔给了愚蠢的$HP$一道题……

欲知后事如何，倾听下回因式分解。