菜鸡HP的被虐日常（18）奇怪的蜘蛛增加了

$ByHolyPush$

在距今$5249$年的古代，有两个名叫$HP$和$txl$的小朋友在进行蕉$♂$流。

远古时代愚蠢的$txl:$聪明的$HP$你给我过来$!!!$
远古时代聪明的$HP:$干啥那么凶厚。

$txl$其实也并不知道为什么要大吼大叫，但是他心情就是莫名不高兴想要欺负$HP$，于是他向$HP$释放蛛蛛光波，$HP$瞬间被周围的蛛蛛吓得找不到胸了。
但是$HP$在找胸的时候突然发现这些蛛蛛很可耐子，并且发明了$HP$坐标系。正当蛛蛛们向他吐丝丝的时候，$HP$突然使用列变技术将$txl$也吸引到了丝丝里面，于是两人在蛛蛛的攻击中共同去世$\dots \dots$
去世以后，远古时代聪明的$HP$的灵魂附到了聪明的$txl$身上，远古时代愚蠢的$txl$的灵魂附到了愚蠢的$HP$身上。根据$Holy$世界的自然法则，同时灵魂升华的两人必定在后世有不解之缘，于是$\dots \dots$
这个故事告诉我们，$HP$要想不被$txl$吊打就只能回到远古时代，但顶多也只能同归于尽。

聪明的$txl$津津有味地阅读小说到末尾，他觉得这个故事写得很棒，但他唯一认为不对的是，即使是回到古代$HP$也不可能打败$txl$。

扯远了，聪明的$txl$从这本小说的插图中发现蛛蛛吐的丝很有规律，于是他赶紧叫愚蠢的$HP$过来。

聪明的$txl:$我从这篇愚昧的小说中发现了一种神奇的数学方法，并且出了$5249$道题。其中一道题是这样的：

$数列${an}\{a_n\}{an​}$满足$$a_1=\frac{1}{2},a_n=(\frac{1}{2}{)}^{a_{n-1}}(n\ge 2)$ 。$问$$a_{2018},a_{2019},a_{2020}$$的大小关系。$

愚蠢的$HP:$泰简单勒惹，$y=(\frac{1}{2}{)}^x$是单调递减的函数，所以$a_{2018}>a_{2019}>a_{2020}$，嘻嘻。
聪明的$txl:$无语了，要是真这样做我会出出来吗  \;答案明显是错的。
愚蠢的$HP:$惭愧子。
聪明的$txl:$这里我们就要用到我刚发明的“蛛网大法”$($其实这个方法由来已久，由法力无边的$cj$传授给各位 $)$。

先来看一道题吧。
$a_1=a(0<a<1)，a_n=\sqrt{a_{n-1}}(n\ge 2)$，求$a_n$的极限。
愚蠢的$HP:$这不显然是$1$吗$?$
聪明的$txl:$我只是来个引子而已。我们把函数$y=x$和$y=\sqrt{x}$的图象画在同一个坐标系中。
两个图像交点为$(0,0),(1,1)$。这有什么用呢$?$
我们把$a_1$放进去。

那图中哪个点是$a_2$呢$?$可以发现，$a_2=f(a_1)$，所以我们过$a_1$点作垂直于$x$轴的直线，与$y=f(x)$的图象有一个交点$A$，交点的纵坐标就是$a_2$，但怎么映到$x$轴上呢$?$
我们不是有一个$y=x$吗$?$那么我们过$A$作平行于$x$轴的直线和$y=x$有一个交点$B$，$B$在$x$轴上的投影就是$a_2$。

同理，我们可以得到$a_3,a_4,...,$最后画出来的图可以形象地表示为

由图可以发现，$n\to +\infty$时，$a_n\to 1$。
愚蠢的$HP:$也就是说，碰到$y=f(x)$的点就往左或往右折，碰到$y=x$就往上或往下折$,$然后在$y=f(x)$图像上的第$n$个点的横坐标就是$a_n$的值。
聪明的$txl:$你可以这么理解。

然后我们就可以来看上面一道题了。
聪明的$txl:$你来试试吧。
愚蠢的$HP:$先画出$y=x,y=(\frac{1}{2}{)}^x$的图象。

然后根据上面的方法，画出的图为
可以发现，$n$为偶数的时候一定在中间这个交点的右边，$n$为奇数的时候一定在中间这个交点的左边，且$n$为奇数的时候$n$越大$a_n$越大，$n$为偶数的时候$n$越大$a_n$越小，所以就是$a_{2018}>a_{2020}>a_{2019}$。
聪明的$txl:$不错嘛。

欲知后事如何，请听下回因式分解。