810. 黑板异或游戏

810. 黑板异或游戏

数学时刻提醒我们：保持谦逊！

我的思路

• 想了半天，完全没思路。但是我知道，这题一定代码简单，因为一定存在先手必胜的条件。

博弈的整体思路

1. 经验：奇偶性
2. 推导先手必胜条件，或者后手必败条件。

数学之美

Reference :

• 【宫水三叶の相信科学系列】应用「博弈论」分析「先手必胜态」序列具有何种性质
• 黑板异或游戏

Alice 和 Bob 都是聪明的人。

下面，分析 Alice 必胜的条件。

1. 当初始数组 $nums$ 中的所有数字的异或和为 0 时，Alice 必胜。即：
   $$nums[0]\oplus nums[1]\oplus \dots \oplus nums[n-2]\oplus nums[n-1]=0$$ 不妨记 $nums[0]\oplus nums[1]\oplus \dots \oplus nums[n-2]\oplus nums[n-1]$ 为 $S$.

2. 当 $S\ne 0$ 时，Alice 必胜的条件是：Alice 先去掉一个数字（记为$nums[k_0]$），此时的数组异或和记为 $S^{\prime }$，然后 Bob 去除任意一个数字($nums[k]$)后，记此时数组异或和为 $S^{\prime \prime }$，必然有 $S^{\prime \prime }=0$.

   • Bob是个聪明的人，如果 Bob 发现去除某一个数字可以让 $S^{\prime \prime }\ne 0$，那么他一定会去除这个数字，因为他不想输。
   • 因此，Bob去除的数字必须是任意的，然后 Bob 必输，Alice 才能必胜。
   • 根据上述分析，有：$$\begin{gathered} S=nums[0]\oplus nums[1]\oplus \dots \oplus nums[n-2]\oplus nums[n-1] \\ {S}^{\prime }=nums[0]\oplus \dots \oplus nums[k_0-1]\oplus nums[k_0+1]\dots \oplus nums[n-1] \\ {S}^{\prime \prime }=nums[0]\oplus \dots \oplus nums[k_0-1]\oplus nums[k_0+1]\oplus \dots \\ \oplus nums[k-1]\oplus nums[k+1]\dots \oplus nums[n-1] \end{gathered}$$$$\begin{gathered} S=S^{\prime }\oplus nums[k_0] \\ {S}^{\prime }=S^{\prime \prime }\oplus nums[k] \end{gathered}$$即，$$\begin{gathered} S^{\prime \prime }=S^{\prime }\oplus nums[k] \\ 0\le k\le n-1,k\ne k_0 \end{gathered}$$
   • 也就是说，因为 $k$ 的任意性，Alice 必胜时，$S^{\prime \prime }=0$ 恒成立，有：
     $$\begin{gathered} S^{\prime }\oplus nums[0]=0 \\ \dots \\ {S}^{\prime }\oplus nums[k_0-1]=0 \\ {S}^{\prime }\oplus nums[k_0+1]=0 \\ \dots \\ {S}^{\prime }\oplus nums[n-1]=0 \end{gathered}$$
     • 上述共 $n-1$ 个式子（$n$ 是 $nums$ 的长度）。
   • 将上述 $n-1$ 个式子异或：$$\begin{gathered} (S^{\prime }\oplus nums[0])\oplus \dots \oplus (S^{\prime }\oplus nums[k_0-1])\oplus \\ (S^{\prime }\oplus nums[k_0+1])\oplus \dots \oplus (S^{\prime }\oplus nums[n-1])=0 \end{gathered}$$
   • 整理得：$$\begin{gathered} (S^{\prime }\oplus \dots \oplus S^{\prime })\oplus \\ (nums[0]\oplus \dots \oplus nums[k_0-1]\oplus nums[k_0+1]\dots \oplus nums[n-1])=0 \end{gathered}$$
     即，$$\underset{n-1个}{\underbrace{(S^{\prime }\oplus \dots \oplus S^{\prime })}}\oplus (S^{\prime })=0$$
     即，$$\underset{n个}{\underbrace{(S^{\prime }\oplus \dots \oplus S^{\prime })}}=0$$
   • $S^{\prime \prime }=0$ 恒成立的条件是 n 个 $S^{\prime \prime }$异或的结果为 0 ，显然，当 $n$ 是偶数时，恒成立，即，$n$ 是偶数时，Alice 必胜。

综上，Alice 必胜的条件（满足其中之一即可）是：

1. $S=0$
2. $n$ 是偶数

根据上述分析可以写出AC代码：

class Solution {
public:
    bool xorGame(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if (!(n & 1)){
            return true;
        }
        int S = 0;
        for (auto item : nums){
            S ^= item;
        }
        return S == 0;
    }
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$，一层for。
• 空间复杂度：$O(1)$，使用了可数个变量。

2021.05.22 21:16

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今天，中华拓荒人——袁隆平逝世了。

稻浆小满先生汗，谷库丰隆国士心。
诸君勿忘贫苦日，吾辈永志挖水人！