【数据结构详解】——归并排序（动图详解）

🕒 1. 归并排序

💡 算法思想：归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列。即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序，若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

简单来说，快速排序类似于二叉树的前序遍历：首先选择一个基准值（key），然后不断划分区间，对区间内的元素进行排序，直到整个序列有序。这个过程中，一棵二叉树也随之构建完成。

相对地，归并排序则类似于二叉树的后序遍历：它会持续划分区间，直到区间内元素有序，然后利用额外空间对元素进行排序，并将它们合并回原区间，直至整个序列有序。这个过程中，划分区间相当于达到树的最底层，而归并排序则相当于从树的底层开始向上遍历。

🕘 1.1 递归实现

💡 算法思想：首先，编译器并不知道数组中是否存在有序的序列。因此，可以将数组进行划分，一分为二，二分为四…直至每个序列只剩下一个数字。毕竟，单个数字可以被视为已经排序好的。最终，将这些被划分的序列合并起来。

具体思路是：

1. 确定递归的结束条件，求出中间数mid；
2. 进行分解，根据mid来确定递归的区间大小；
3. 递归分解完左边，然后递归分解右边；
4. 左右分解完成后，进行合并；
5. 申请新数组进行合并，比较两个数组段，记得查漏补缺；
6. 合并的时候要对齐下标，每个tmp的下标要找到array中对应的下标。

void _MergeSort(int* a, int left, int right, int* tmp)
{
    // 区间中没有元素时不再合并
    if (left >= right)
    {
        return;
    }
 
    // 划分数组，每次一分为二
    int mid = (left + right) / 2;
    _MergeSort(a, left, mid, tmp);   // 划分左区间
    _MergeSort(a, mid + 1, right, tmp); // 划分右区间
 
    // 合并有序序列
    int begin1 = left, end1 = mid;      // 有序序列1
    int begin2 = mid + 1, end2 = right; // 有序序列2
    int i = left;				// 辅助数组的起始位置

    // 注意结束条件为一个序列为空时就停止
    while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
    {
        if (a[begin1] < a[begin2])
        {
            tmp[i++] = a[begin1++];	// 将较小的元素放入辅助数组中
        }
        else
        {
            tmp[i++] = a[begin2++];	// 将较小的元素放入辅助数组中
        }
    }

    // 两序列不可能同时为空，将剩余元素合并到辅助数组中
    while (begin1 <= end1)
    {
        tmp[i++] = a[begin1++];
    }

    while (begin2 <= end2)
    {
        tmp[i++] = a[begin2++];
    }

    // 将辅助数组中排好序的部分拷贝回原数组中
    memcpy(a + left, tmp + left, (right - left + 1) * sizeof(int));
}

// 归并排序递归实现
void MergeSort(int* a, int n)
{
    assert(a);

    // 为归并过程分配一个临时数组，用于存储中间结果
    int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
    if (tmp == NULL)
    {
        perror("malloc fail!");
        exit(-1);
    }

    // 递归调用归并排序
    _MergeSort(a, 0, n - 1, tmp);

    // 释放临时数组
    free(tmp);
    tmp = NULL;
}

🕘 1.2 非递归实现

💡 算法思想：非递归实现与递归实现的思想相似。区别在于，非递归是从单个元素的组开始，逐步扩大为2个元素、4个元素的组（二倍数扩大组数），即序列划分过程和递归是相反的。如此继续，直至完成所有元素的归并。

void MergeSortNonR(int* a, int n)
{
    assert(a);

    // 为归并过程分配一个临时数组，用于存储中间结果
    int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
    if (tmp == NULL)
    {
        perror("malloc fail!"); 
        exit(-1);
    }

    // 初始化每组的元素个数为1
    int gap = 1;

    // 当gap小于数组长度时继续归并
    while (gap < n)
    {
        // 记录tmp数组中的元素下标
        int index = 0;

        // 遍历数组，将每两个gap长度的子数组进行归并
        for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap)
        {
            // 归并 取小的尾插
			int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;
			int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;
            
            // 当原数组中元素个数不是2^n时，最后两组会出现元素不匹配的情况
            // 情况1：第一组越界或第二组全部越界
            if (end1 >= n || begin2 >= n)
            {
                break;
            }
            
            // 情况2：第二组部分越界
            if (end2 >= n)
            {
                end2 = n - 1;	// 修正一下end2，继续归并
            }

            // 归并两个子数组到tmp数组中
            while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
            {
                if (a[begin1] < a[begin2])
                {
                    tmp[index++] = a[begin1++];
                }
                else
                {
                    tmp[index++] = a[begin2++];
                }
            }

            // 如果第一个子数组还有剩余元素，直接复制到tmp中
            while (begin1 <= end1)
            {
                tmp[index++] = a[begin1++];
            }

            // 如果第二个子数组还有剩余元素，直接复制到tmp中
            while (begin2 <= end2)
            {
                tmp[index++] = a[begin2++];
            }
            
            // 将辅助数组中排好序的部分拷贝回原数组中
    		memcpy(a + i, tmp + i, (end2 - i + 1) * sizeof(int));
        }

        // 每次循环后将每组元素的个数翻倍
        gap *= 2;
    }

    // 释放临时数组的内存
    free(tmp);
    tmp = NULL;
}

归并排序的特性总结：

1. 归并的缺点在于需要 O(N) 的空间复杂度，归并排序的思考更多的是解决在磁盘中的外排序问题。
2. 时间复杂度：O(NlogN)
3. 空间复杂度：O(N)
4. 稳定性：稳定

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作者：HinsCoder
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