NOIP2004提高组题解

最新推荐文章于 2025-06-24 20:30:01 发布

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本文深入解析了四道经典算法题目，包括模拟、贪心、动态规划和搜索剪枝等核心算法，提供了详细的代码实现及剪枝技巧，强调了严谨性和细节的重要性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

T1:津津的储蓄计划

考察知识：模拟

算法难度：X 实现难度：X+

分析：按照题目的要求模拟就可以了，只是要考虑严谨，还要看懂题目

代码：

#include<cstdio>
int cost,rest,store,fail;
int main(){
	for(int i=1;i<=12;i++){
		scanf("%d",&cost);
		rest+=(300-cost);
		if(rest<0) {fail=i;break;}
		else store+=120*(rest/100),rest%=100;
	}
	if(fail) printf("%d\n",-fail);
	else printf("%d\n",store+rest);
	return 0;
}

T2:合并果子

考察知识：二叉堆,模拟，贪心

算法难度：XX 实现难度：XX+

分析：

直接每次合并最小的两堆就可以了

还是那句话：当年不能用STL，所以我们还是按当年的要求来吧（不用优先队列）

用priority_queue很方便,就不贴代码了，下面的代码是用二叉堆实现的，注释里面讲述了使用方法，你需要有二叉树的的知识储备才容易读懂

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int maxn=10005;
int heap[maxn],np,n,t,sum;//维护一个小根堆
/*heap是储存二叉树的一个数组,2*i,2*i+1是i的
左右儿子，保证这棵二叉树父亲的权值不比儿子大*/ 
void add(int x){//添加元素 
	heap[++np]=x;//把np理解为数组的指针-指向末尾元素
	for(int i=np,j=i/2;j>0;i=j,j/=2){//调整二叉树的节点权值 
		if(heap[j]>heap[i]) std::swap(heap[i],heap[j]);
		else break;
	}
}
void del(){//删除最小元素 
	heap[1]=heap[np--];//把根赋最后节点的值，删除最后节点
	for(int i=1,j=2*i;j<=np;i=j,j*=2){//调整二叉树 
		if(j<np&&heap[j+1]<heap[j]) j++;
		if(heap[i]>heap[j]) std::swap(heap[i],heap[j]);
		else break;
	} 
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&t),add(t);
	while(--n){
		t=heap[1],del();
		t+=heap[1],del();
		add(t),sum+=t;
	}
	printf("%d\n",sum); 
	return 0;
}

T3:合唱队形

考察知识：序列型动态规划

算法难度：XX+ 实现难度：XX+

分析：

其实就是求一次最长上升子序列，然后反着求一次最长下降子序列，然后找最高点就可以了

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
int n,a[105],f1[105],f2[105],mx;
//f1(i)=max(f1(j))+1||1<=j<i a[j]<a[i]
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i),f1[i]=f2[i]=1;
	
	for(int i=2;i<=n;i++)
	  for(int j=1;j<i;j++) if(a[j]<a[i])
	    f1[i]=std::max(f1[i],f1[j]+1);
	
	for(int i=n-1;i>=1;i--)
	  for(int j=n;j>i;j--) if(a[i]>a[j])
	    f2[i]=std::max(f2[i],f2[j]+1);
	
	for(int i=1;i<=n;i++) mx=std::max(mx,f1[i]+f2[i]-1);
	printf("%d\n",n-mx);
	return 0;
}

T4:虫食算

考察知识：搜索+剪枝，数学，高斯消元

算法难度：XXXX 实现难度：XXXX

分析：这道题搜索并不难写，但是剪枝的程度决定了你能得多少分

我第一次花了两个小时写（调bug）完了第一份程序，如果不剪枝，时间复杂度为： $O(n^2^n)$ ,可是我加了剪枝也才20分，然后我修改了一下，时间复杂度开了个根号，然后就可以90分了

下面先介绍90分方法：

首先是命名方式：

add[i]表示第i+1为应该向第i为进一

剪枝：1.如果当前某个字母必须赋某个值而这个值已经被使用，剪枝 2.如果某个字母已经被赋值了，就不用再枚举其可能的值了

其实剪枝并不是很多，也不是很复杂，只不过细节还是很多，很容易写错，情况要分类讨论（我找bug又花了一个小时T_T）

所以忠告大家一定要加强静态查错，考虑每一个可能出错的地方

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
int n,mp[30],used[30],add[30],got_ans;
char A[30],B[30],C[30];
void dfs(int row,int cur){
    if(row<0){
        if(!add[row+1])//第一位不该有进位 
            for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",mp[i]);
        got_ans=1;return;
    }
    if(got_ans) return;
    int idA=A[row]-'A',idC=C[row]-'A';
    if(cur) goto Cur1;
    //考虑第row列第一行的字母代表的数字： 
    if(mp[idA]>=0) {dfs(row,1);return;}//如果字母已经被赋值 
    for(int i=0;i<n;i++) if(!used[i]){//枚举可以赋的值 
    	mp[idA]=i,used[i]=1;
    	dfs(row,1);
    	mp[idA]=-1,used[i]=0;//修改回原状态 
    }return;
    Cur1://考虑第row列第二行:
    int idB=B[row]-'A';
    if(mp[idB]>=0){//如果字母二已被赋值,分类讨论 
        int t=mp[idA]+mp[idB]+add[row+1];
        add[row]=t/n;//注意进位 
        if(mp[idC]>=0&&t%n==mp[idC]){//如果字母三已被赋值
            dfs(row-1,0);
            add[row]=0;
        }
        else if(mp[idC]<0&&used[t%n]==0){//根据字母一二可以确定字母三 
            mp[idC]=t%n,used[t%n]=1;
            dfs(row-1,0);
            mp[idC]=-1,add[row]=used[t%n]=0;
        }
        return;
    }
    int t;
    for(int i=0;i<n;i++) if(!used[i]){//枚举第字母二可能的值 
        t=mp[idA]+i+add[row+1];
        add[row]=t/n;
        mp[idB]=i,used[i]=1;
        if(mp[idC]>=0&&(t%n==mp[idC])) dfs(row-1,0);
        else if(mp[idC]<0&&used[t%n]==0){
            mp[idC]=t%n,used[t%n]=1;
            dfs(row-1,0);
            mp[idC]=-1,used[t%n]=0;
        }
        mp[idB]=-1,add[row]=used[i]=0;
    }
}
int main(){ 
    scanf("%d%s%s%s",&n,A,B,C);
    for(int i=0;i<n;i++) mp[i]=-1;
    dfs(n-1,0);
    return 0;
}

其实只要再加一个剪枝就是100分算法了：3.考虑剩下的数，如果一列的三个数值都知道了那么就可以判断是否矛盾了

但是要考虑进位（true表示可以剪枝）：

bool check(int limt){
	int a,b,c;
	for(int i=0;i<=limt;i++){
		a=mp[A[i]-'A'],b=mp[B[i]-'A'],c=mp[C[i]-'A'];
		//考虑要严谨 
		if(((a+b)%n)!=c&&((a+b+1)%n)!=c&&a>=0&&b>=0&&c>=0) return true; 
	}
	return false;
}

最后修改一下：