2013资格赛——桃花群岛

Description

李四kmp实际上才是黄药师的嫡系大弟子，他继承了黄药师的所有地产---桃花群岛。桃花群岛包含n个小岛（2<=n<=500)。李四kmp想在n个岛上建个通讯系统保证小岛可以直接或间接通讯。他想在每个岛上装上规格相同的无线电通讯器，每个无线电通讯器的通讯范围为半径r的圆形。如果不同的小岛通讯范围相交或相切那么这两个小岛可以相互通讯（李四kmp的无线通讯器确实很高科技）。通讯器的通讯范围半径r越小，价格越便宜，为了保证n个小岛能相互通讯，且花费最小。李四kmp该买的通讯器的半径r该是多少？

Input

输入包含多组数据。每组数据先输入一个n，接着是n个小岛的平面坐标x，y(-10000 <= x,y <= 10000).

Output

对每组输入，先输出一行”Case T:”，T初始为1。每组输出相应的r，保留两位小数。

Sample Input

2
0 0
0 1
3
0 0
2 2
5 5

Sample Output

Case 1:
0.50
Case 2:
2.12

分析：一开始这题不会，后来问了一下。其实，本题就是求最小生成树中的最长边，此最长边即为其直径，然后即可求得半径。用Prim算法求出最小生成树。

归根结底就是证明这个“最小生成树的最长边小于等于其它任意生成树的最长边”。简易的证明如下：

1.先证最小生成树T的最长边（u，v）小于等于任一生成树T的最长边
反证：假设不满足上述命题，即：存在一个生成树T'，其最长边小于(u,v)
则有T'的任一边 <= T’最长边 < (u,v)，
因为T'是生成树，则其上u,v两点间必存在唯一通路P;
由于u,v位于(u,v)所通过的某割的两边，P上必有一边(x,y)通过割且(x,y)<(u,v)
在T上去掉(u,v)加上(x,y)形成T''可证T‘’仍然是生成树且所有边权值和小于T的权值和。与T是最小生成树矛盾。得证
2.再证存在一个可达的方案，其最长边等于(u,v)，即1中的下限是紧确的。
 显然，只要选取最小生成树为所选方案即可得

click it : http://poj.org/showmessage?message_id=340459

然后代码就不难了，只要会Prim算法即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>

const int maxn = 505;
double g[maxn][maxn];
double x[maxn],y[maxn];
double flag;
int n;
bool vis[maxn];
double dis[maxn];

int main() {
    int cas = 1;
    while(~scanf("%d" , &n)) 
    {
        for(int i=0;i<n;i++) 
            scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
        for(int i=0;i<n;i++) 
        {
            g[i][i] = 0;
            for(int j=i+1;j<n;j++) 
            {
                g[i][j] = g[j][i] = sqrt( (x[i]-x[j])*(x[i]-x[j]) + (y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]) );
            }
        }
        flag = 0;
        for(int i=0;i<n;i++) 
        {
            vis[i] = false;
            dis[i] = 1000000000;
        }
        dis[0] = 0;
        while(1) 
        {
            int u = -1 , tmp = 100000000;
            for(int i=0;i<n;i++)
            {
                if(!vis[i] && dis[i] < tmp) {
                    u = i;
                    tmp = dis[i];
                }
            }
            if(dis[u] > flag) flag = dis[u];
            if(u == -1) break;
            vis[u] = true;
            for(int i=0;i<n;i++) 
            {
                if(!vis[i] && g[u][i] < dis[i])
                {
                    dis[i] = g[u][i];
                }
            }
        }
        printf("Case %d:\n" , cas++);
        printf("%.2lf\n" , flag/2.0);
    }
    return 0;
}