数据结构与算法分析-Chapter7

Chapter7-树

7.1 树的重要概念

        直接看最关键的概念：树的高度和深度、节点的高度和深度。

7.1.1 树的深度和高度

        这俩不用想，计算出来的结果是一样的，因为是对于“树”这个概念来进行计算的。有公式：
$$Depth(Tree)=Height(Tree)=叶子结点所在的最大层数$$

7.1.2 节点的深度和高度

        深度正如其名，反映的是从表面到“水下面”的某一个地方的距离。高度，反映的是从一个表面到“天空”上面的某一个点的距离。那么就可以很好的得出下面这一棵树的各个节点的深度和高度了（这里引用下@Mr-Cat伍可猫的博客的图）：

节点	深度	高度
8	1	4
3	2	3
10	2	3
1	3	2
6	3	2
14	3	2
4	4	1
7	4	1
13	4	1

7.2 二叉树

7.2.1 完全二叉树的定义

只有当优先把左节点排满的树才是完全二叉树：

7.2.2 二叉树的性质

        性质1：在二叉树上最多有$2^{i-1}$个节点。
        性质2：深度为k的二叉树上最多含有$2^k-1$个节点。
        性质3：对任意二叉树，若它包含$n_0$个叶子节点、$n_2$个度为2的节点，则必存在关系式：$n_0=n_2+1$
        性质4：具有n个节点的完全二叉树的深度为$\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$或$\lceil lo{g}_2(n+1)\rceil$
        性质5：假设一棵完全二叉树有$n_0$个叶子节点，则这棵完全二叉树最多有$2n_0$个节点。例如一棵完全二叉树有665个节点，则该二叉树有665 / 2 = 332.5 ≈ 333 个叶子节点。
        性质6：具有n个节点的完全二叉树一共有$\frac{1}{n+1}\cdot C_{2n}^n$种