### 题目重述
已知偏序集 $<A, \leq>$，其中 $A = \{
1,
2,
3, \dots,
12\}$，$\leq$ 为整除关系（即 $a \leq b$ 当且仅当 $a \mid b$）。令子集 $B = \{x \in A \mid
2 \leq x \leq 4\}$，即 $B = \{
2,
3, 4\}$。
要求：
1. 画出偏序集 $<A, \mid>$ 的哈斯图；
2. 在该偏序集中求 $B$ 的上界、下界、最小上界（上确界）、最大下界（下确界）。
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### 详解
#### 一、哈斯图构造
在整除关系下，若 $a \mid b$ 且没有中间元素 $c$ 使得 $a \mid c \mid b$（称为“覆盖关系”），则在哈斯图中从 $a$ 向 $b$ 画一条边。
集合 $A = \{
1,
2,\dots,
12\}$ 中，只保留那些在整除关系下有直接联系的元素进行连接。
我们分析每个数的因子关系，并提取覆盖关系：
- $
1$ 被所有数整除 → 连接到所有素数和质因数组合起点：$
2,
3,5,7,
11$
- $
2$ → 覆盖 $4,6$（因 $8=
2\times4$ 不直接）
- $
3$ → 覆盖 $6,9$
- $4$ → 覆盖 $8,
12$
- $5$ → 覆盖 $
10$
- $6$ → 覆盖 $
12$
- $7,
11$ 无倍数在范围内（除了自身×
2>
12）
但注意：例如 $
2 \to 8$ 是间接的（通过 $4$），所以只保留直接覆盖。
**关键路径**：
- $
1 \to
2$, $
1 \to
3$, $
1 \to 5$, $
1 \to 7$, $
1 \to
11$
- $
2 \to 4$, $
2 \to 6$, $
2 \to
10$
- $
3 \to 6$, $
3 \to 9$
- $4 \to 8$, $4 \to
12$
- $5 \to
10$
- $6 \to
12$
- $
3 \to 9$（$9=
3^
2$）
- $7 \to -$，$
11 \to -$（无后续）
最终，$
12$ 的前驱包括 $4$ 和 $6$，而 $6$ 来自 $
2,
3$；$4$ 来自 $
2$。
> 哈斯图文字描述如下（由底向上）：
```
12
/ \
6 4
/ \ / \
2 3 8
\ / \ /
1 5
\ | \
7 9
|
10
|
11
```
更准确地说，应排除不连通分支。实际上，有效连接到主结构的是：
核心部分（与 $B=\{
2,
3,4\}$ 相关）：
```
12
/ \
6 4
/ \ / \
3 2 8
\ / \
1 5
/ \
10 7,9,
11（孤立或末端）
```
但由于 $A = \{
1..
12\}$ 包含所有数，完整哈斯图包含多个分支：
- 主链：$
1 \to
2 \to 4 \to 8$
- 分支：$
1 \to
2 \to 6 \to
12$，$
1 \to
3 \to 6 \to
12$，$
1 \to
3 \to 9$
- $
1 \to 5 \to
10$
- $
1 \to 7$, $
1 \to
11$
因此，完整哈斯图较复杂，建议用绘图软件可视化。
但针对问题重点（求 $B=\{
2,
3,4\}$ 的上下界），只需关注与这些元素相关的整除结构。
---
#### 二、求 $B = \{
2,
3,4\}$ 的界
#####
1. 上界（Upper Bounds）
一个元素 $u \in A$ 是 $B$ 的上界，如果对所有 $b \in B$，都有 $b \mid u$。
检查 $A$ 中哪些元素被 $
2,
3,4$ 共同整除？
- $
2 \mid u$, $
3 \mid u$, $4 \mid u$ ⇒ $u$ 必须是 $\mathrm{lcm}
(2,
3,4
) =
12$
验证：在 $A = \{
1,\dots,
12\}$ 中，
- 只有 $
12$ 满足 $
2\mid
12,
3\mid
12, 4\mid
12$
✅ 所以上界为：$\{
12\}$
---
#####
2. 最小上界（Least Upper Bound / 上确界）
上界只有一个 $
12$，所以它就是最小上界。
✅ 最小上界：$
12$
---
#####
3. 下界（Lower Bounds）
一个元素 $l \in A$ 是下界，如果 $l \mid b$ 对所有 $b \in B = \{
2,
3,4\}$ 成立。
即 $l$ 是 $
2,
3,4$ 的公共因数。
计算 $\gcd
(2,
3,4
) =
1$，所以只有 $
1$ 满足：
- $
1\mid
2$, $
1\mid
3$, $
1\mid4$
✅ 下界为：$\{
1\}$
---
##### 4. 最大下界（
Greatest Lower Bound / 下确界）
下界只有一个 $
1$，所以最大下界为 $
1$
✅ 最大下界：$
1$
---
### 结论
- **上界**：$\{
12\}$
- **下界**：$\{
1\}$
- **最小上界（上确界）**：$
12$
- **最大下界（下确界）**：$
1$
---
### 知识点
1. **哈斯图的构造原理**
基于覆盖关系绘制，去除传递性和自反性带来的冗余边。
2. **整除关系作为偏序**
定义为 $a \leq b \iff a \mid b$，满足自反、反对称、传递性。
3. **上下界与确界的判定**
上界需被集合中所有元素整除；下界需整除集合中所有元素，再从中找最值。
本文介绍了 GREATEST 函数的功能及用法，该函数用于返回一组表达式中最大的值，支持不同类型间的隐式转换。通过示例展示了如何在 SQL 查询中使用此函数。
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