<think>好的，我现在需要为用户介绍
最小生成树模板。首先，我得回忆一下
最小生成树的基本概念和相关算法。
最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是在一个加权无向图中找到一棵包含所有顶点的树，并且边的权值之和最小。常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。
接下来，我需要确定用户的需求是什么。他们可能是在准备算法竞赛或者学习图论，需要
模板代码来实现这两种算法。因此，我应该分别解释这两种算法的原理，然后给出代码
模板，并比较它们的适用场景。
对于Kruskal算法，核心是使用并查集来管理连通性，按边的权重从小到大排序，依次选择不形成环的边。这里要注意路径压缩和按秩合并优化并查集的操作，以提高效率。代码部分需要结构体或类来存储边，以及并查集的实现。时间复杂度方面，Kruskal是O
(M log M
)，适合边较少的稀疏图。
然后是Prim算法，这通常使用优先队列（堆）来实现，类似于Dijkstra算法。需要维护一个最小堆来选择当前权值最小的边，同时记录哪些顶点已加入生成树。Prim算法的时间复杂度取决于使用邻接矩阵还是邻接表，以及是否用堆优化。使用堆优化的版本是O
(M log N
)，适合边较多的稠密图。
在编写代码
模板时，要确保语法正确，变量命名清晰，并加上必要的注释。例如，在Kruskal的
模板中，需要初始化并查集，排序边，然后遍历合并；在Prim的
模板中，则需要构建邻接表，使用优先队列，并维护一个visited数组。
同时，应该指出两种算法的区别：Kruskal更适合稀疏图，而Prim在稠密图中表现更好。这是因为Kruskal的时间复杂度主要取决于边的数量，而Prim在邻接矩阵的情况下是O
(N²
)，对于稠密图来说可能更快，但堆优化后更适合边多的情况。
可能用户会混淆这两种算法的应用场景，所以需要明确说明。另外，示例输入输出可以帮助用户理解
模板的使用方法，比如给出一个具体的图结构，展示算法如何逐步构建
最小生成树。
最后，需要检查是否有遗漏的细节，比如处理图不连通的情况（此时无法生成MST），或者在代码中处理可能的异常。确保提供的
模板代码能够正确处理各种情况，比如边权为负数时是否影响算法逻辑（不影响，因为MST允许负权边，只要总权最小）。
总结起来，我需要分步骤介绍两种算法，提供清晰的代码
模板，并比较它们的优缺点和使用场景，帮助用户根据具体问题选择合适的算法。</think>
最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是连接加权无向图所有顶点的边权总和最小的树。以下是两种常用算法的
模板及解析：
---
### 一、Kruskal 算法（贪心+并查集）
**适用场景**：稀疏图（边少）
**时间复杂度**：O
(M log M
) （M为边数）
#### 算法步骤：
1. 将边按权值升序排序
2. 初始化并查集
3. 遍历所有边，用并查集判断是否形成环
4. 累计不形成环的边权
```cpp
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct Edge {
int u, v, w;
Edge
(int _u, int _v, int _w
) : u
(_u
), v
(_v
), w
(_w
) {}
};
vector<Edge> edges;
int parent[1005];
int find
(int x
) {
return parent[x] == x ? x : parent[x] = find
(parent[x]
);
}
bool unite
(int x, int y
) {
x = find
(x
), y = find
(y
);
if
(x == y
) return false;
parent[y] = x;
return true;
}
int kruskal
(int n
) { // n为顶点数
sort
(edges.begin
(), edges.end
(), []
(Edge& a, Edge& b
) {
return a.w < b.w;
}
);
for
(int i = 1; i <= n; ++i
) parent[i] = i;
int sum = 0, cnt = 0;
for
(auto& e : edges
) {
if
(unite
(e.u, e.v
)) {
sum += e.w;
if
(++cnt == n
-1
) break; // 选够n
-1条边
}
}
return cnt == n
-1 ? sum :
-1; //
-1表示图不连通
}
```
---
### 二、Prim 算法（优先队列）
**适用场景**：稠密图（边多）
**时间复杂度**：O
(M log N
) （N为顶点数）
#### 算法步骤：
1. 任选起始点，初始化优先队列
2. 每次取出离当前树最近的顶点
3. 更新相邻顶点到树的距离
```cpp
#include <vector>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii; // {weight, vertex}
int prim
(vector<vector<pii>>& graph, int n
) {
vector<bool> vis
(n+1, false
);
priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii>> pq;
int sum = 0, cnt = 0;
pq.push
({0, 1}
); // 从顶点1
开始
while
(!pq.empty
()) {
auto [w, u] = pq.top
();
pq.pop
();
if
(vis[u]
) continue;
vis[u] = true;
sum += w;
cnt++;
for
(auto& [v, cost] : graph[u]
) {
if
(!vis[v]
) {
pq.push
({cost, v}
);
}
}
}
return cnt == n ? sum :
-1; //
-1表示图不连通
}
```
---
### 三、算法对比
| 特性 | Kruskal | Prim |
|
-------------|
-----------------------------|
--------------------|
| 数据结构 | 并查集 + 排序 | 优先队列 |
| 适用场景 | 稀疏图（边少） | 稠密图（边多） |
| 时间复杂度 | O
(M log M
) | O
(M log N
) |
| 是否需要邻接表 | 不需要 | 需要 |
---
### 四、使用示例
输入（邻接表）：
```
顶点数n=3，边：
1
-2
(权重5
)
2
-3
(权重6
)
1
-3
(权重4
)
```
输出：
```
最小生成树权值和 = 5 + 4 = 9
```
---
根据图的稠密程度选择算法：稀疏图优先用Kruskal，邻接矩阵存储的稠密图可用朴素版Prim（时间复杂度O
(N²
)）。
模板代码需根据具体
题目调整顶点编号方式（0
-based或1
-based）。
博客介绍了LibreOJ中的10066题，题目要求找到使所有矿井都能通电的最小花费，通过建立发电站并考虑输电费用。解题策略转化为求裸的最小生成树问题，提供了Prim和Kruskal两种算法的代码实现。
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