Leetcode 354. 俄罗斯套娃信封问题

给你一个二维整数数组 envelopes ，其中 envelopes[i] = [wi, hi] ，表示第 i 个信封的宽度和高度。

当另一个信封的宽度和高度都比这个信封大的时候，这个信封就可以放进另一个信封里，如同俄罗斯套娃一样。

请计算 最多能有多少个 信封能组成一组“俄罗斯套娃”信封（即可以把一个信封放到另一个信封里面）。

注意：不允许旋转信封。

题解

题解转载自zaozhe

方法：排序+最长上升子序列（LIS）

思路

**目标是将二维问题，转换为我们所熟悉的一维的最长上升子序列问题。**因此需要降维，想办法在计算时，仅考虑 h 的顺序即可，忽略 w 影响。

状态定义:
dp[i] 表示仅使用信封 [0,i]，且以第 i 个信封为底部信封时的最大高度。

• 状态转移:
  首先对整个数组按照宽度由小到大排序，排序同时，对于宽度相同的项，根据高度由大到小排序。

假如我们仍像方法一一样，仅针对宽度排序。那么对于形如 [4,4]和 [4,5]的两项，由于 [4,4]排序在 [4,5]之前，这就导致仅考虑h时，我们认为 [4,4]和 [4,5]可以构成一组“套娃”。但是按照“二维严格升序”的定义，两个矩形的宽相等，不属于严格升序。
为了规避上述的问题，我们对宽度相等的两个矩形，使用高度降序排序，这样一来，上述问题的排列将变成：
[4,5],[4,4]。在我们计算最长上升子序列时，由于 5>4，也就不会出现“错误套娃”。

排序完毕后，提取出所有的h，形成一个新的数组。对新的数组执行“最长上升子序列”问题的求解:

• 设 j∈[0,i),考虑每轮计算新的 dp[i] 时，遍历 [0,i) 区间，做以下判断：
  1.当 envelopes[j][1]>envelopes[i][1] 时：认为信封 j 严格大于信封 i，此时尝试更新 dp[i] : dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
  2.当信封 j 不严格大于信封 i 时：跳过。
• 转移方程： dp[i] = max(dp[j]) + 1 (j ∈ [0, i) 且信封j比信封i高度严格大)
• 初始状态:dp[i] 所有元素置1，表示该信封可独自形成层数为1的套娃。
• 返回值:返回 dp 列表最大值，即可得最大套娃层数。
  图片转载自angela
  
  

class Solution {
    public int maxEnvelopes(int[][] envelopes) {
        int n = envelopes.length;
        int res=0;
        // w升序排序，如果w相同，h逆序排序
        // 因为w相同时不能互相嵌套，所以w相同时将h逆序排序
        Arrays.sort(envelopes,(e1,e2) -> (e1[0] != e2[0] ? e1[0] - e2[0] : e2[1] - e1[1]));
        //dp[i]:信封数目为前i+1个且以i信封为顶端的信封的最大高度
        int[] dp = new int[n];
        for(int i=0;i<n;i++){
            //base case
            dp[i]=1;
            for(int j=0;j<=i-1;j++){
                if(envelopes[i][1]>envelopes[j][1]){
                    dp[i]=Math.max(dp[j]+1,dp[i]);
                }
            }
            res = Math.max(dp[i],res);
        }
        return res;
    }
}