[树的点分治] [POJ1741/POJ1987] Tree/Distance Statistics

传送门：POJ1741、POJ1987
题目大意是询问树上两点间距离小于等于$k$的点对个数。
很容易想到$O(n^2{\log }_{2}n)$暴力，即枚举所有路径，然后LCA统计长度。过不去！
考虑一种对于树的分治，找到树的重心，可以将树分成一些子树，那么需要统计的路径就有三种情况（其实是两种）：
1、完全在一个子树中；
2、两端在不同子树中，易知这条路径一定过重心；
3、（2的一种情况）一端是重心，另一端在一个子树中。
对于情况1，是原问题的子问题，直接递归其子树做就好了……
对于情况2，我们要统计的是$\text{dis}(u,v)\le k$且$u,v$在不同子树的点对个数，就等价于满足$\text{dis}(u,v)\le k$的点对个数减去$\text{dis}(u,v)\le k$且$u,v$在相同子树的点对数，这又回到了情况1的统计。
因为都要统计$\text{dis}(u,v)\le k$的个数。可以将$\text{dis}$值排序后用单调队列统计；
对于情况3，可以将重心$G$看做$G$到$G$的一条长为$0$的边，就转化为情况2统计。
这样做时间复杂度是$O(n{\log }_2^{2}n)$的，证明详见漆子超的论文
（可以看做：递归${\log }_{2}n$层（重心的性质），每层快速排序$O(n{\log }_{2}n)$）
（不过应该是$O(n{\log }_2^{2}n+n{\log }_{2}n)$的，或者比这个大得多？……）
对于树的分治还有边分治，但是如菊花图可以把边分治卡成暴力的复杂度，用处不太大……所以对于树的分治考虑点分治。
Code_POJ1741
Code_POJ1987
点分治常数比较大？我写的常数真的挺大……