程序猿必学之堆排序

前情了解：

要想了解堆排序的过程，首先得知道什么是堆？
要想了解什么是堆，首先得知道什么是二叉树？
而在堆排序中使用的完全二叉树只是二叉树的一种，所以先得了解什么是完全二叉树？

完全二叉树（百度百科）：
若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。
简单来说，就是一棵从上往下，从左往右的必须依次布满节点的树就是完全二叉树。

例如：

了解了完全二叉树之后，就可以来看一下什么是堆？
堆实际上就是一个完全二叉树，不同的地方在于：它是有规律的完全二叉树，也就是说堆一定是完全二叉树，但完全二叉树却不一定是堆。

对于一棵完全二叉树来说，如果它的任意一个父节点的值都大于或等于它的两个子节点，这样的堆叫做大根堆，又称最大堆（大顶堆）；
相反如果一棵完全二叉树，它的任意一个父节点的值都小于或等于它的两个子节点，这样的堆叫做小根堆，又称最小堆（小顶堆）。

如下图示：

了解完以上概念之后，就可以正式进行堆排序了，拿到一组无序的数据后，先把这组数据整理成一个大根堆或小根堆，至于选择哪一个，取决于你的排序是升序还是降序，一般来说升序建大根堆，降序建小根堆

主题思路：

堆排序主要分为两步，以大根堆为例进行讲解：

1. 将初始堆也就是一个完全二叉树构建成大根堆
2. 将堆顶数据与末节点进行交换得到最大的数据
3. 重复上述步骤

注：在整个排序过程中，堆必须始终保证是大根堆，为森么嘞？
只有堆始终是大根堆，才能保证每次拿到的数据是最大的，并且在调整的过程中，当前子树中的最大数据位于根节点，便于下一次拿到最大的数据

具体过程：

拿到一组数据{ 1,3,4,8,9,2 }之后：

Step1：将初始堆构建成大根堆

a.无序序列的结构如下：

b.大根堆调整的过程如下：
我们先从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点size/2-1=2，也就是上图的4结点），从左至右，从下至上进行调整。

• 在以4节点为根节点的子树中，符合大根堆规律，不需要调整；
• 在以3节点为根节点的子树中，{3, 9, 8}三个节点中，节点9最大，此时交换节点3与节点9，如下图示：
  
  交换完毕后，在以9节点为根节点的子树中，符合大根堆规律，所以不再进行调整；
• 在以1为根节点的子树中，{1, 4 , 9}三个节点中，节点9最大，此时交换节点1与节点9，如下图示：
  
  交换完毕后，在以9节点为根节点的子树中，符合大根堆规律，所以不再进行调整；
• 在以1为根节点的子树中，{1, 8 , 3}三个节点中，节点8最大，此时交换节点1与节点8，如下图示：
  
  交换完毕后，在以8节点为根节点的子树中，符合大根堆规律，所以不再进行调整；

此时，整个二叉树符合大根堆的特点，构建大根堆至此结束。

Step2：将堆顶数据与末节点进行交换得到最大的数据

• 首先将节点9与末节点交换
  
  交换完毕后，对当前二叉树进行调整
  
• 再将节点8与末节点交换
  
  交换完毕后，对当前二叉树进行调整
  
• 再将节点4与末节点交换

交换完毕后，对当前二叉树进行调整

重复上面的过程，直至循环结束，就会得到一组有序的数据

稳定性、时间复杂度与空间复杂度：

时间复杂度：
主要在初始化堆过程和每次选取最大数后重新建堆的过程，初始化建堆过程时间：O(n)，更改堆元素后重建堆时间：O(nlogn)
综上所述：堆排序的时间复杂度为：O(nlogn)

空间复杂度：
因为堆排序是就地排序，空间复杂度为常数：O(1)

稳定性：不稳定
在一个长为n 的序列，堆排序的过程是从第n / 2开始和其子节点共3个值选择最大（大顶堆）或者最小（小顶堆），这3个元素之间的选择当然不会破坏稳定性。但当为n / 2 - 1， n / 2 - 2， … 1这些个父节点选择元素时，就会破坏稳定性。有可能第n / 2个父节点交换把后面一个元素交换过去了，而第n / 2 - 1个父节点把后面一个相同的元素没有交换，那么这2个相同的元素之间的稳定性就被破坏了。所以，堆排序不是稳定的排序算法。

代码如下（含详细注释）：

void AdjustDown(int array[],int size,int root)
{
	int left = 2 * root + 1;
	int right = 2 * root + 2;
	//左孩子越界
	if (left >= size)
	{
		return;
	}
	//假设左孩子最大
	int max = left;
	//存在右孩子，右>左
	if (right < size && array[right] > array[left])
	{
		//选出子节点中大的那个作为max
		max = right;	
	}
	//如果大于，表示符合大根堆的条件，不需要再进行调整，直接返回
	if (array[root] >= array[max])
	{
		return;
	}
	//将子节点中较大的那个和根节点进行交换
	Swap(array + root, array + max);
	//判断这次交换是否对其余子树有影响，有影响则进行调整，递归执行
	AdjustDown(array, size, max);
}

void CreateHeap(int array[], int size)
{
	//最后一个非叶子节点(最后一个结点的双亲节点)->0
	for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(array, size, i);
	}
}

void HeapSort(int array[], int size)//升序建大堆
{                                                               
	CreateHeap(array, size);
	for (int i = 0; i < size; i++)
	{
		//堆中最大的数据位于堆顶，将其与末节点进行交换
		Swap(&array[0], &array[size - i - 1]);
		//判断 减去交换完最大节点之后 堆是否为大堆，不是则进行调整，
		//只有让二叉树始终保证是大堆，才能在每次交换时拿到最大的数据放置在末尾
		AdjustDown(array, size - 1 - i, 0);
	}
}