【算法周】PCA教你如何化繁为简（上）

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主成分分析（Principal components analysis，以下简称PCA）是最重要的降维方法之一。在数据压缩消除冗余和数据噪音消除等领域都有广泛的应用。一般我们提到降维最容易想到的算法就是PCA，下面我们就对PCA的原理做一个总结。

1.PCA的思想

PCA顾名思义，就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的，假如我们的数据集是n维的，共有m个数据

(x⁽¹⁾,x⁽²⁾,...,x^(m))我们希望将这m个数据的维度从n维降到n'维，希望这m个n'维的数据集尽可能的代表原始数据集。我们知道数据从n维降到n'维肯定会有损失，但是我们希望损失尽可能的小。那么如何让这n'维的数据尽可能表示原来的数据呢？

      我们先看看最简单的情况，也就是n=2，n=1,也就是将数据从二维降维到一维。数据如下图。我们希望找到某一个维度方向，它可以代表这两个维度的数据。图中列了两个向量方向，u₁和u₂，那么哪个向量可以更好的代表原始数据集呢？

从直观上也可以看出，u₁比u₂好。

为什么u₁比u₂好？可以有两种解释，第一种解释是样本点到这个直线的距离足够近，第二种解释是样本点在这个直线上的投影能尽可能的分开。

假如我们把n从1维推广到任意维，则我们的希望降维的标准为：样本点到这个超平面的距离足够近,或者说样本点在这个超平面上的投影能尽可能的分开。

基于上面的两种标准，我们可以得到PCA的两种等价推导。

2. PCA的推导:基于小于投影距离

我们首先看第一种解释的推导，即样本点到这个超平面的距离足够近。

假设m个n维数据(x⁽¹⁾,x⁽²⁾,...,x^(m))都已经进行了中心化假设m个n维数据(x⁽¹⁾,x⁽²⁾,...,x^(m))都已经进行了中心化，即

经过投影变换后得到的新坐标系为{w1,w2…wn}，其中w是标准正交基，即||w||2=1 ，wiTwj=0。

如果我们将数据从n维降到n'维，即丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为{w1,w2…wn'},样本点x(i)在n'维坐标系中的投影为：

 z(i)=(z1(i),z2(i),...,zn′(i)).其中，zj(i)=wjTx(i)是x(i)在低维坐标系里第j维的坐标。

如果我们用z⁽ⁱ⁾来恢复原始数据x⁽ⁱ⁾,则得到的恢复数据

其中， W为标准正交基组成的矩阵。

      现在我们考虑整个样本集，我们希望所有的样本到这个超平面的距离足够近，即最小化下式：

注意到

是数据集的协方差矩阵，w的每一个向量

w _j是标准正交基,而 是一个常量。最小化上式等价于：

这个最小化不难，直接观察也可以发现最小值对应的W由协方差矩阵 XX^T 最大的n'个特征值对应的特征向量组成。当然用数学推导也很容易。利用拉格朗日函数可以得到     

 对W求导有

这样可以更清楚的看出，W为XX^T的n'个特征向量组成的矩阵，而λ为XX^T的特征值。当我们将数据集从n维降到n'维时，需要找到最大的n'个特征值对应的特征向量。这n'个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用z⁽ⁱ⁾=W^Tx^(i),就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n'维数据集。

如果你熟悉谱聚类的优化过程，就会发现和PCA的非常类似，只不过谱聚类是求前k个最小的特征值对应的特征向量，而PCA是求前k个最大的特征值对应的特征向量。