JZ41 和为S的连续正数序列

最新推荐文章于 2022-02-09 12:32:01 发布

Han-torch

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小明很喜欢数学,有一天他在做数学作业时,要求计算出9~16的和,他马上就写出了正确答案是100。但是他并不满足于此,他在想究竟有多少种连续的正数序列的和为100(至少包括两个数)。没多久,他就得到另一组连续正数和为100的序列:18,19,20,21,22。现在把问题交给你,你能不能也很快的找出所有和为S的连续正数序列? Good Luck!

官方题解：因为是一个连续的正数序列，关于如何求它们的和，其实有一个数学求和公式大家都比较熟悉，就是首项加末项的和乘项数除以2。

假设首项为 i ，末项为，即： $sum = \frac{(i+j)\times (j-i+1)}{2}$

而在这道题目中，关于sum我们已经知道了。

所以只要确定 i 或ｊ的值，就能找到另外一个值。

当首项i的值确定时， $j = \frac{-1\pm \sqrt{1+4(2\times sum + i^2 -i)}}{2}$ ，又因为 $j>i$ ，所以可以去掉为负数的解。

通过从小到大遍历左边界 i 来计算以 i 为起始数字的连续正整数序列。每轮中，由以上公式计算得到右边界 j ，当 j 满足以下两个条件时记录结果：
① j 为整数：符合题目所求「连续正整数序列」
② i < j ：满足题目要求「至少含有两个数」

class Solution:
    def FindContinuousSequence(self, tsum):
        # write code here
        i, j, res = 1, 2, []
        while i < j:
            j = (-1 + (1 + 4 * (2 * tsum + i * i - i)) ** 0.5) / 2
            if i < j and j == int(j):
                res.append(list(range(i, int(j) + 1)))
            i += 1
        return res

时间复杂度 O(N)：其中 N =sum；连续整数序列至少有两个数字，而 i < j恒成立，因此至多循环 sum/2 次，使用 O(N)。
空间复杂度 O(1)：变量 i, j 使用常数大小的额外空间。