使用R语言进行Anderson-Darling检验

最新推荐文章于 2023-10-02 02:18:26 发布

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本文介绍了如何在R语言中使用`ad.test()`函数执行Anderson-Darling检验，用于判断数据是否符合特定分布。步骤包括安装`nortest`包，准备数据，执行检验并解释结果中的统计量和p值。

使用R语言进行Anderson-Darling检验

Anderson-Darling检验是一种用于检验数据是否来自特定分布的统计方法。在R语言中，可以使用"ad.test()"函数来执行Anderson-Darling检验。本文将介绍如何在R中使用Anderson-Darling检验。

步骤1：安装并加载必要的包

首先，确保你已经安装了"nortest"包，该包提供了执行Anderson-Darling检验的函数。如果你尚未安装该包，可以使用以下命令进行安装：

install.packages("nortest")

安装完毕后，加载该包：

library(nortest)

步骤2：准备数据

在进行Anderson-Darling检验之前，需要准备好你要分析的数据。假设我们有一个数值型向量"data"，你可以根据你的实际数据进行相应的修改。

data <- c(1.2, 2.3, 3.4, 4.5, 5.6)

步骤3：执行Anderson-Darling检验

一旦你准备好了数据，就可以使用"ad.test()"函数执行Anderson-Darling检验。该函数的语法如下：

ad.test(x, dist = "norm")

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R语言中的安德森-达令检验（Anderson-Darling Test）及其实现

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此外，小样本数据的统计指标可能不太可靠，因此更严格的检验方法（如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验和Anderson-Darling检验）通常更适合用于确定数据的分布情况。此外，需要谨慎解释检验结果，因为在大样本中，即使数据略微偏离正态分布，也可能导致检验结果拒绝原假设，而在小样本中则可能不敏感。根据这些检验的结果，你可以判断数据是否符合正态分布的假设。简而言之，Shapiro-Wilk检验统计值越小，表明数据越不符合正态分布，而p值用于确定检验结果的显著性。

两样本Anderson-Darling统计量的定义

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<think>我们讨论两样本Anderson-Darling检验统计量的定义。该检验用于检验两个独立样本是否来自同一分布（无需指定分布类型）。其原假设$H_0$为：两个样本来自同一分布；备择假设$H_1$为：两个样本来自不同的分布。 ### 两样本Anderson-Darling统计量的定义设我们有两个独立样本： - 第一个样本有$n$个观测值：$X_1, X_2, \dots, X_n$，来自分布$F(x)$ - 第二个样本有$m$个观测值：$Y_1, Y_2, \dots, Y_m$，来自分布$G(x)$ 我们想要检验$H_0: F(x) = G(x)$（对所有$x$） vs $H_1: F(x) \neq G(x)$（至少一个$x$）。为了构造统计量，我们首先将两个样本合并，得到总样本大小为$N = n + m$。然后，我们定义经验分布函数： - $F_n(x)$为第一个样本的经验分布函数 - $G_m(x)$为第二个样本的经验分布函数 - $H_N(x)$为合并样本的经验分布函数两样本Anderson-Darling统计量定义为： $$ A^2 = \frac{n m}{N} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{[F_n(x) - G_m(x)]^2}{H_N(x)(1 - H_N(x))} dH_N(x) $$ 实际上，我们通常使用以下离散形式（因为经验分布函数是阶梯函数）： $$ A^2 = \frac{n m}{N} \sum_{i=1}^{N-1} \frac{[F_n(z_i) - G_m(z_i)]^2}{H_N(z_i)(1 - H_N(z_i))} \cdot (z_{i+1} - z_i) $$ 其中$z_i$是合并样本的有序观测值（$i=1,2,\dots,N$），且$z_1 \leq z_2 \leq \dots \leq z_N$。但是，由于经验分布函数的跳跃性质，我们通常使用另一种计算方式（避免直接积分）。更常用的计算形式（基于秩）如下： 1. 将两个样本合并，并排序得到有序样本：$z_{(1)} \leq z_{(2)} \leq \dots \leq z_{(N)}$，其中$N = n + m$。 2. 对于每个有序观测值$z_{(i)}$，计算两个样本的经验分布函数在该点的值： - $F_n(z_{(i)})$：第一个样本中小于等于$z_{(i)}$的比例 - $G_m(z_{(i)})$：第二个样本中小于等于$z_{(i)}$的比例 3. 计算统计量： $$ A^2 = \frac{1}{nm} \sum_{i=1}^{N} \frac{[n F_n(z_{(i)}) - m G_m(z_{(i)})]^2}{N \cdot H_N(z_{(i)}) (1 - H_N(z_{(i)})} \cdot (N \cdot [H_N(z_{(i)}) - H_N(z_{(i-1)})]) $$ 然而，更常见的简化形式是（注意，分母中的$H_N(z_{(i)})$和$(1-H_N(z_{(i)}))$需要调整，因为当$H_N(z_{(i)}) = 0$或$1$时，分母为零。通常，我们忽略这些点，或者使用调整因子）：实际上，两样本Anderson-Darling统计量的一个标准计算公式为（参考Scholz和Stephens, 1987）[^1]： $$ A^2 = \frac{1}{nm} \sum_{i=1}^{N} \frac{[ (N M_i - n i)^2 ]}{i (N - i)} $$ 其中： - $N = n + m$ - $M_i$为第一个样本在有序合并样本中到位置$i$（包括$i$）的累计个数。另一种等价的表达式（更常见）为： $$ A^2 = \frac{n m}{N^2} \sum_{i=1}^{N-1} \frac{ [N F_n(z_i) - n H_N(z_i)]^2}{H_N(z_i) (1 - H_N(z_i))} \cdot \frac{N}{n} \cdot \frac{1}{(z_{i+1}-z_i)} \cdot (z_{i+1}-z_i) \times \frac{1}{N} $$ 但通常我们使用秩统计量来避免连续性的假设。实际计算中，我们使用以下步骤： 1. 合并两个样本，并排序（升序），记为$Z = (Z_1, Z_2, \dots, Z_N)$，其中$N = n+m$。 2. 令$d_i$为在位置$i$处的值来自第一个样本的指示变量（如果是第一个样本则为1，第二个样本则为0）。 3. 计算统计量： $$ A^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N-1} \frac{1}{i(N-i)} \left( N \sum_{j=1}^{i} d_j - n i \right)^2 $$ 但请注意，这个表达式可能并不完整。根据Scholz和Stephens (1987) [^1]，k样本Anderson-Darling统计量（当k=2时）为： $$ A^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N-1} \frac{1}{i (N - i)} \left( N \sum_{j=1}^{i} d_j - n i \right)^2 $$ 其中$d_j$是指示变量（当$Z_j$来自第一个样本时为1，否则为0）。然而，这个表达式并没有考虑分母中的$H_N$的调整。实际上，更准确的计算公式（来自kSamples包）为： $$ A^2 = \frac{1}{nm} \sum_{i=1}^{N} \frac{(N M_i - n i)^2}{i (N - i)} $$ 其中$M_i$是第一个样本在有序合并样本中前$i$个观测值中的个数（即累计频数）。 ### 计算步骤总结 1. 将两个样本合并，并按升序排列。令$Z = (Z_{(1)}, Z_{(2)}, \dots, Z_{(N)})$，$N = n + m$。 2. 构造一个指示向量：对于每个$i$，定义$d_i = 1$如果$Z_{(i)}$来自第一个样本，否则$d_i=0$。 3. 计算第一个样本的累计频数：$M_i = \sum_{j=1}^{i} d_j$，即前$i$个有序值中第一个样本的个数。 4. 计算统计量： $$ A^2 = \frac{1}{nm} \sum_{i=1}^{N-1} \frac{ (N M_i - n i)^2}{i (N - i)} $$ 注意：为了避免分母为零，通常跳过$i=0$和$i=N$（即只从$i=1$到$i=N-1$求和）。该统计量在$H_0$下（两样本来自同一分布）的分布是自由的，但依赖于样本量$n$和$m$。因此，通常通过查表或使用软件（如R的kSamples包）计算p值。 ### 在R中的实现在R中，我们可以使用`kSamples`包中的`ad.test`函数来计算两样本安德森-达令检验。该函数接受两个样本向量，并返回统计量和p值（通过渐近分布或bootstrap方法）。 ```r # 安装包（如果需要） install.packages("kSamples") library(kSamples) # 示例数据 group1 <- c(1.56, 1.43, 3.04, ...) # 第一个样本数据 group2 <- c(4.60, 4.88, 5.20, ...) # 第二个样本数据 # 执行两样本Anderson-Darling检验 result <- ad.test(group1, group2, method = "asymptotic") # 或者使用bootstrap：method = "exact" 或 "bootstrap" # 查看结果：统计量和p值 print(result) ``` 输出中包含统计量$A^2$（通常标记为“ad”）和p值。 ### 统计量的性质 - 两样本Anderson-Darling统计量$A^2$的值总是非负的。 - 当两个样本的经验分布函数越接近，$A^2$的值越小。 - 当两个样本的经验分布函数差异越大，$A^2$的值越大。 - 临界值或p值可用于判断是否拒绝$H_0$（通常p值<0.05时拒绝）。注意：两样本Anderson-Darling检验对分布的尾部差异特别敏感（相比于Kolmogorov-Smirnov检验）[^1]。 §§相关问题§§ 1. 两样本Anderson-Darling检验与Kolmogorov-Smirnov检验相比有何优势？ 2. 如何解释两样本Anderson-Darling检验的结果？ 3. 在R语言中，除了`kSamples`包，还有哪些包可以实现两样本Anderson-Darling检验？ </think>### 两样本Anderson-Darling统计量的定义两样本Anderson-Darling（AD）统计量是用于检验两个独立样本是否来自同一分布的非参数方法。其核心思想是比较两个样本的经验分布函数（EDF），并对分布尾部的差异赋予更高权重（相比KS检验更敏感）。其数学定义如下：设两个独立样本： - 样本1：$X_1, X_2, \dots, X_m$，经验分布函数$F_m(x)$ - 样本2：$Y_1, Y_2, \dots, Y_n$，经验分布函数$G_n(x)$ - 合并样本量 $N = m + n$ #### 统计量公式两样本AD统计量定义为： $$ A^2 = \frac{mn}{N} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{[F_m(x) - G_n(x)]^2}{H_N(x)(1 - H_N(x))} \, dH_N(x) $$ 其中 $H_N(x)$ 是合并样本的经验分布函数： $$ H_N(x) = \frac{m}{N}F_m(x) + \frac{n}{N}G_n(x) $$ #### 离散计算形式实际计算中，需对合并有序样本 $Z_{(1)} \leq Z_{(2)} \leq \cdots \leq Z_{(N)}$ 求和： $$ A^2 = \frac{1}{mn} \sum_{i=1}^{N-1} \frac{(M_i N - m i)^2}{i(N-i)} $$ 其中： - $M_i$：前 $i$ 个有序值中样本1的观测数 - $i$：当前有序位置（$i=1,\dots,N-1$，避免分母为零） #### 关键特征 1. **加权差异**：分母 $H_N(x)(1 - H_N(x))$ 赋予分布尾部（$H_N(x)$ 接近 0 或 1 处）更高权重，提升对极端值差异的敏感性[^1] 2. **方向不变性**：统计量始终非负 ($A^2 \geq 0$)，值越大表示两分布差异越显著 3. **样本量调整**：系数 $\frac{mn}{N}$ 确保统计量尺度与样本量无关 4. **一致性检验**：对连续分布类型均有效，无需预先假设分布形式[^4] ### 统计量解读 - **$A^2 = 0$**：两经验分布完全重合 - **$A^2 > 0$**：分布存在差异，需通过假设检验判断显著性 - 拒绝域：$A^2 > c_\alpha$ （$c_\alpha$ 为临界值，取决于 $\alpha$ 和样本量） > 示例：在R中执行两样本AD检验（使用 `kSamples` 包）： ```r library(kSamples) ad_result <- ad.test(group1, group2) # group1/group2为样本向量 print(ad_result$ad) # 输出统计量值 ``` ### 与单样本AD检验的区别 | 特性 | 单样本AD检验 | 两样本AD检验 | |--------------|---------------------------|---------------------------| | **目标** | 检验样本与理论分布的拟合 | 检验两样本分布一致性 | | **权重函数** | $[F(x)(1-F(x))]^{-1}$ | $[H_N(x)(1-H_N(x))]^{-1}$ | | **应用** | 正态性检验[^2] | 分布差异检测[^4] | 两样本AD检验通过加权积分量化分布差异，是KS检验的改进版本，尤其擅长检测分布尾部的差异[^1]。