图论基础知识(六) —— Euler图和Hamilton图

一、Euler图

定义1：Euler迹、Euler闭迹、Euler图、Euler开迹、半Euler图

设G是一个图，G中所包含所有边的迹(即每条边恰好出现一次的路径)称为Euler迹，闭的Euler迹称为Euler闭迹或Euler回路，具有Euler回路的图称为Euler图，开的Euler迹称为Euler开迹，具有Euler开迹的图称为半Euler图。

定义2：Euler有向迹、Euler有向闭迹、Euler有向图、Euler有向开迹、半Euler有向图

设D是一个有向图，D中包含所有弧的有向迹，称为Euler有向迹，闭的Euler有向迹称为Euler有向闭迹或Euler有向回路，具有Euler有向回路的图称为Eule有向图，开的Euler有向迹称为Euler有向开迹，具有Euler有向开迹的图称为半Euler有向图。

定义3：平衡点

设D是有向图，$v\in V(G)$，若$d^{-}(v)=d^{+}(v)$，称$v$是平衡的。若D中的每个顶点都是平衡的，则称D是平衡的。如果存在$k\in N$，使得D中每点的入度、出度均为k，则称D是一致平衡的。

定理1

设G是连通图，则G是Euler图当且仅当G的所有顶点均是偶顶点。

定理2

设G是连通图，则G是半Euler图当且仅当G中恰好有两个奇顶点。

定理3

设D是单连通有向图，则G是Euler有向图当且仅当G是平衡的。

定理4

设D是单连通有向图，则G是半Euler有向图当且仅当G中恰好有两个奇顶点u，v满足$d^{-}(u)=d^{+}(u)+1$，$d^{-}(v)=d^{+}(v)+1$，而其它顶点都是平衡的。

二、Hamilton图

定义1：Hamilton圈、Hamilton图、Hamilton路、半Hamilton图

设G是一个图，G中包含所有顶点的圈称为Hamilton圈，含有Hamilton圈的图称为Hamilton图，G中含有所有顶点的路称为Hamilton路，含有Hamilton路的图称为半Hamilton图。

定理1

设G是Hamilton图，则对于顶点集V的任一非空真子集S，均有
$$\omega (G-S)\le |S|$$

定理2

设G是简单图，且$v\ge 3,\delta \ge v/2$，则G是Hamilton图。

定理3

竞赛图必是半Hamilton有向图。

定理4

强连通的竞赛图必是Hamilton有向图。