PAT-A1010解题报告

第一遍做这道题时就有了很朴素的想法，先把已知进制的数转换成10进制，再对未知进制进行二分。但是提交后发现很多测试点没有通过，仔细看了《算法笔记》后才发现有很多细节没有把握好，在这里就记录下我的解题过程，为后来者填坑。

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思路

题目要求找一个未知进制，满足$N_1=N_2$，只需把二者都转换成10进制进行比较。假设$N_2$的进制未知，能够很容易地推出，$N_2$的大小随着进制的增加而增加，这样我们就能二分处理$N_2$的进制，找到一个使等式成立的最小进制。

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注意点

1. 题目中并没有指明已知进制数$N_1$的范围，但是经过测试，使用long long能够存下转换为10进制后的$N_1$。
2. 在我们二分处理$N_2$的进制时，我们需要指定二分范围，$N_2$可能的二分下界是$N_2$的所有位中的最大数加1；二分上界的确定存在坑，不要认为数字的每一位都是0~9, a~z中的数就认为上界是36，实际上上界是$max(low,N_1)$（其中low为二分下界）。

   如果取上界为$N_1$，当$N_1,N_2$都为0时，$low=1$，很显然二分上界应当是1，而不应该是0。
   为什么不取上界为$max(low,N_1-1)$？假设$N_2$只有第二位的数为$1$，其它位都为0，如果取最大进制为$N_1-1$，$N2$就等于$N_1-1$，取最大进制为$N_1$，则$N_2$恰好等于$N_1$。
   为什么不取上界为$max(low,N_1)+1$？当$N_2$除了最后一位外存在非0的位，则$N_2>N_1$，如果$N_2$只有最后一位非0，会出现$N_2=N_1$的情况只有$N_2$的最后一位为$N_1$，这时$low$就为$N_1+1$，$N_2$只要进制为$max(low,N_1)$就会等于$N_1$，因为我们要取所有满足条件的进制中的最小进制，故我们用不着讨论进制$max(low,N_1)+1$。

3. 给定$N_2$的进制，计算其对应的10进制并与$N_1$进行比较时，需要考虑$N_2$在转换为10进制时出现溢出的情况，如果出现溢出，$N_2$一定大于$N_1$。

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代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>

typedef long long LL;
#define INF 1 << 30
#define MIN(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define MAX(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
LL LLINF = ~(1LL << 63);

using namespace std;

void Swap(int &a, int &b)
{
    int temp = a;
    a = b;
    b = temp;
}
LL ToDecimal(char str[], LL radix, LL up_bound)//把一个数按照指定进制转换为10进制数
{
    int len = strlen(str);
    LL ans = 0;
    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        if (isdigit(str[i]))
        {
            ans = ans * radix + (LL)(str[i] - '0');
        }
        else
        {
            ans = ans * radix + (LL)(str[i] - 'a' + 10);
        }
        if (ans < 0 || ans > up_bound) return -1;
    }
    return ans;
}
int LeastRadix(char str[])//计算二分下界
{
    int len = strlen(str);
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        if (isdigit(str[i])) 
            ans = MAX(ans, str[i] - '0' + 1);
        else ans = MAX(ans, str[i] - 'a' + 11);
    }
    return ans;
}
int cmp(LL num_deci, char num_wait[], LL radix)//比较N1和N2
{
    LL num_trans = ToDecimal(num_wait, radix, num_deci);
    if (num_trans < 0) return -1;//溢出，num_wait一定大
    if (num_deci < num_trans) return -1;
    if (num_deci == num_trans) return 0;
    return 1;
}
int GetRadix(LL num_deci, char num_wait[], LL left, LL right)
{
    LL mid;
    LL ans = LLINF;
    while (left <= right)
    {
        mid = (left + right) / 2;
        int res = cmp(num_deci, num_wait, mid);
        if (res < 0)
        {
            right = mid - 1;
        }
        else if (res == 0)
        {
            ans = MIN(ans, mid);
            right = mid - 1;
        }
        else
        {
            left = mid + 1;
        }
    }
    if (ans != LLINF) return ans;
    else return 0;
}
int main()
{
    int tag, ans;
    LL radix;
    char N1[15], N2[15], temp[15];
    scanf("%s%s%d%lld", N1, N2, &tag, &radix);
    if (tag == 2)
    {
        strcpy(temp, N1);
        strcpy(N1, N2);
        strcpy(N2, temp);
    }
    
    LL num1 = ToDecimal(N1, radix, LLINF);

    LL least = LeastRadix(N2);
    LL largest = MAX(least, num1) + 1;
    if (ans = GetRadix(num1, N2, least, largest))
    {
        printf("%d\n", ans);   
    }
    else printf("Impossible\n");

    return 0;
}