ACM训练 身高排队、导弹拦截 [最长不下降子序列，最长不升子序列和不升子序列的最小覆盖]

题目

题目描述

若干人排成一行，且身高分别为b1，b2，…，bn。准备从中选出一组满足身高不降的人组成一队。
例如13，7，9，16，38，24，37，18，44，19，21，22，63，15。有13<16<38<44<63
长度为5的不下降子序列。但经过观察，实际还有7<9<16<18<19<21<22<63 长度为8的不下降子序列。
给出最长队列的长度。

输入描述

第一行为n，表示n(n≤100000)个数。第二行为n个数的值。

输入描述

一个整数。

样例输入

4
1 3 1 2

样例输出

2

题目分析

本题实际上就是求一个最长不下降子序列。
设序列的各项为a[1],a[2],…,a[n]，对每一个整数操作为一个阶段，共为n个阶段
设f[i]表示前i个数的最长不上升序列的长度。则状态方程：

    f[i]=max{f[j]+1},其中j<i && a[j]>=a[i]
    这里0<j<i<=n。

显然时间复杂度为O(n2)。
上述式子的含义：找到i之前的某j，这个数不比第i个数小,对于所有的j取f[j]的最大值。
优化方案:
构建一个数组f[i]，表示，长度为i的序列最小末尾是多少
每当考虑后面一个数，它能接在哪个长度i的数字后面，就可以和该数字构成长度为i+1的序列
而为了能够尽可能的接上新的数字，长度为i的序列应当保留最小可能的末位数字，这样就更可能被接上了。又因为若是两个长度的最小末尾都相同，为了更长，会尽量接在后面。
这样，新加入一个数字的时候，只需要查找upper_bound() 【好像是upper_bound吧】即可了。
这样时间复杂度就从o(n^2)降到了o(nlogn)

整体代码

/*
 ZhangBinjie@Penguin
*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define maxn 100000+5 
using namespace std;
int dat[maxn]; 
int f[maxn];
int ans[maxn];
int main(){
    int n,len,change;
    int* pos;
    while(cin>>n){
        cin>>dat[1];
        f[1]=dat[1];
        len=1; 

        for(int i=2;i<=n;++i){
            cin>>dat[i];
            if(dat[i]>dat[len]){
                dat[++len]=dat[i];
            }
            else{
                //pos=lower_bound(f+1,f+1+len,dat[i]);
                pos=upper_bound(f+1,f+1+len,dat[i]);
                //?????????????????好像吧
                change=pos-f-1;
                f[change]=dat[i];
            }
        }

        cout<<len<<endl;
    }
    return 0;
}

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一套最多能拦截多少导弹：
这个显然就是一个求最长不升子序列。没什么好说的

要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统：
这个就是求，最少要多少个不升子序列能够完全覆盖。
这里需要引入一个理论:

因此，这个实际上转化成了求最长上升子序列
这样就比较方便求解了