字典树（trie树）详解

【本文概要】本文主要介绍了字典树的概念，字典树的一般算法，包括初始化，插入，查找等，最后举了比较典型的案例以及算法比赛中常见的“01树”来辅助理解字典树这种特殊的数据结构。

1、什么是字典树

        字典树，是一种特殊的树状数据结构，对于解决字符串相关问题非常有效。一般而言，我们认为字典树是一种前缀树，但有时它也可以是后缀树（具体见下图）。字典树在统计、保存大量字符串中有着极大的优势：它利用字符串的公共前缀或后缀来减少查询时间，最大限度地减少不必要的字符串比较，使得查询的效率比一般算法高得多。

        如上图所示，常见的字典树的每一个节点是由一个数据域（用来标记是否在此处有字符串终止）与一个长度为26的指针域（表示26个小写字母）组成。一般我们在根结点不存储任何数据，这样是为了可以存储所有的字符串，从根结点到某一个节点，路过的字符连起来就是该节点对应的字符串。由于每个节点的子节点字符不同，也就是说明找到对应单词、字符是唯一的。

2、字典树的实现

        这里我们整理字典树的定义、插入和查找的相应算法的写法。

2.1 字典树的定义

const int size = 26;
struct Node {
	bool k; // true表示有字符串在此结尾，false表示无字符串在此结尾
	Node* next[size];

	Node() :k(false) { // 给成员变量赋值false
		for (int i = 0; i < size; ++i) {
			next[i] = nullptr; // 初始化都是空指针
		}
	}
};

2.2 字典树的插入

void insert_ch(char *ch) {
	Node *p = head;
	for (int i = 0; ch[i]; ++i) {
		if (p->next[ch[i] - 'a'] == nullptr) // 判断下层节点是否存在
			p->next[ch[i] - 'a'] = new Node; // 开辟新空间
		p = p->next[ch[i] - 'a'];
	}
	p->k = true; // 进行字符串结尾标记
}

        每次从根节点进行插入，如果向下的节点已经存在，就直接读取，否则拓展一个新节点。之后将最后一个节点的k标记为true表示该位置有一个字符串结尾。

2.3 字典树的查找

bool find_ch(char *ch) {
	Node *p = head;
	for (int i = 0; ch[i]; ++i) {
		if (p->next[ch[i] - 'a'] == nullptr) { // 判断下层节点是否存在
			return false; // 不存在即判否
		}
		p = p->next[ch[i] - 'a'];
	}
	return p->k; // 最终判断
}

        基本过程与插入相同，向下查找，入过该节点不存在，直接返回false，如果存在一直向下查找，最终返回末尾标记的k。

3、关于字典树的常见问题整理

3.1 依依的瓶中信

//本题考察字典树的扩展应用
//其具体算法仍是字典树的插入与查询
//需要注意的是当前字符串不能与自己匹配,
//解决的方法是写一个删除函数,先将当前字符串删除再查询,查询后再恢复 
//由于插入与删除的本质相同,只是cnt数组对应位置的增加或减小,故只需改写插入函数即可 
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn=1e5+100;

string str[maxn];//存储原始字符串组 
int nex[maxn][27];//nex[x][0]表示从第x个结点出发,边为'a'的下一个结点地址 
int cnt[maxn];//cnt[i]表示以第i个结点结尾的前缀的数量 
int idx=2;//用于动态开点 

void Insert(string s,int tag)//将字符串s插入字典树中,或将其从字典树中删除
//若传入tag=1,则为插入;若传入tag=-1,则为删除
//插入与删除的本质是令对应的cnt[x]+1或-1 
{
    int x=1;//初始从根结点(1号)开始 
    for(int i=0;i<s.size();i++)//遍历字符串s 
    {
        cnt[x]+=tag;//对每个字符,以该字符结尾的前缀数量均+1/-1 
        if(nex[x][s[i]-'a']==0)//若该字符(存储该字符的边)未被记录 
        {
            nex[x][s[i]-'a']=idx++;//则动态开点并记录之 
        }
        x=nex[x][s[i]-'a'];//继续向下追溯 
    }        
    cnt[x]+=tag;//结尾字符对应的前缀数量+1/-1 
}

int Search(string s)//在字典树中查找与s最接近的字符串,并返回匹配的最长前缀的长度 
{
    int x=1;//初始从根结点(1号)开始 
    int ans=0;//记录匹配的最长前缀的长度 
    for(int i=0;i<s.size();i++)//遍历字符串 
    {
        if(nex[x][s[i]-'a']==0)//已经无法再匹配(不存在记录当前字符的边)
        {
            return ans;//返回之前累计的长度 
        }    
        x=nex[x][s[i]-'a'];//若能继续匹配,则继续向下追溯 
        if(cnt[x]==0)return ans;//已经不存在以x结点结尾的前缀,返回之前累计的长度
        //注意以上这句不可省略,因为在删除操作中只是减少了字符串出现的次数,并没有删除之前记录的字符 
        ans++;//计数值加1,重复上述操作 
    }    
    return ans;//最终返回ans 
}

int main()
{
    int N;
    cin>>N;
    for(int i=0;i<N;i++)//输入N个字符串 
    {
        cin>>str[i];
        Insert(str[i],1);//插入 
    }
    for(int i=0;i<N;i++)//N组查询 
    {
        Insert(str[i],-1);//先将当前字符串删除 
        cout<<Search(str[i])<<endl;//查询匹配的最长前缀的长度并输出 
        Insert(str[i],1);//将当前字符串重新插入以恢复字典树 
    }
    return 0;
}

3.2 XOR的最大值

这道题使用了字典树的特例——01树，这里简单做个介绍：

// 本题考察的是字典树的一个特例——01树
// 01树的一个常见用处就是用来查找异或最大值
// 由于查找过程类似二分，大大减少了所用的时间
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 1e5 + 10;
int son[32 * N][2], tot = 1; // 表示每个节点的子节点，节点编号

// 在01树中插入新的数
void insert(int num) {
    int o = 1; // 从第一层开始插入，深度较小的节点存储数的高位
    for (int i = 30; i >= 0; --i) { // 这里的最高层数是一个估计值，大约30位
        int bit = num >> i & 1; // num的第i位
        if (!son[o][bit]) { // 如果这个子节点之前未被创建
            son[o][bit] = ++tot; // 那么就给这个新的子节点编上序号
        } // 这里节点覆盖不影响之后的查找，因为查找过程中只需要确定这个数存在即可，
        // 并不关注这个数的编号
        o = son[o][bit]; // 之后就从这个子节点所在序号处继续插入
    }
}

// 在01树中查找异或最大值
int query(int num) {
    int o = 1, res = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; --i) {
        int bit = num >> i & 1;
        if (son[o][!bit]) { // 如果该位的不同数节点存在
            o = son[o][!bit]; 
            res |= 1ll << i; // 那么就证明存在一个数的该位可以通过异或产生有效位
        } // 这里利用了二进制的一个特殊之处在于第i位为1形成的数大于从第0位到第i-1位均为1形成的数
        else {
            o = son[o][bit];
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n; cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int x; cin >> x;
        insert(x);
    }
    int q; cin >> q;
    while (q--) {
        int x; cin >> x;
        cout << query(x) << "\n";
    }
}