插入排序算法

  插入排序（Insertion Sort）一般也被称为直接插入排序。对于少量元素的排序，它是一个有效的算法 。插入排序是一种最简单的排序方法，它的基本思想是将一个记录插入到已经排好序的有序表中，从而得到一个新的、记录数增1的有序表。在其实现过程使用双层循环，外层循环对除了第一个元素之外的所有元素，内层循环对当前元素前面有序表进行待插入位置查找，并进行移动 。

  插入排序是指在待排序的元素中，假设前面n-1(其中n>=2)个数已经是排好顺序的，现将第n个数插到前面已经排好的序列中，然后找到合适自己的位置，使得插入第n个数的这个序列也是排好顺序的。按照此法对所有元素进行插入，直到整个序列排为有序的过程，称为插入排序。

  例如： 使用插入排序算法将数组 { 4,2,8,0,5,7,1,3,6,9 } 进行升序排序。

  实现代码如下所示。

#include<iostream>
using namespace std;

template<class T>
void InsertionSort(T *a, int n)
{
	int in, out;  //in排好顺序的；out未排好顺序的
	for (out = 1; out < n;out++)  //out = 0已经默认为排好顺序的
	{
		T temp = a[out];  //将待插入元素复制为哨兵
		in = out;
		while (in > 0 && a[in - 1] >= temp)  //从后往前查找待插入的位置
		{
			a[in] = a[in - 1];  //往后挪位置
			in--;
		}
		a[in] = temp;  //复制待插入元素到插入位置
	}
}

int main()
{
	int a[] = { 4,2,8,0,5,7,1,3,6,9 };

	cout << "排序前：" << endl;
	for (int i = 0; i < 10; i++)
	{
		cout << a[i] << "  ";
	}
	cout << endl;

	InsertionSort(a, 10);

	cout << "排序后：" << endl;
	for (int i = 0; i < 10; i++)
	{
		cout << a[i] << "  ";
	}
	cout << endl;

	double b[] = { 4.1,2.2,8.3,0.4,5.5,7.6,1.7,3.8,6.9,9.0 };

	cout << "排序前：" << endl;
	for (int i = 0; i < 10; i++)
	{
		cout << b[i] << "  ";
	}
	cout << endl;

	InsertionSort(b, 10);

	cout << "排序后：" << endl;
	for (int i = 0; i < 10; i++)
	{
		cout << b[i] << "  ";
	}
	cout << endl;

	system("pause");

	return 0;
}

排序前：
4 2 8 0 5 7 1 3 6 9
排序后：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
排序前：
4.1 2.2 8.3 0.4 5.5 7.6 1.7 3.8 6.9 9
排序后：
0.4 1.7 2.2 3.8 4.1 5.5 6.9 7.6 8.3 9

  插入排序算法的详细过程如下图所示。

  时间复杂度： 对于长度为$n$的数组，代码执行的时间都花费在最内层while循环里面的操作上（比较和移动）了。对于$n$个元素，首先外层for循环要循环 $n-1$ 次，然后内层while循环的循环次数是根据$in$来决定的，$in=1$时循环 1 次，$in=2$时循环 2 次，…，$in=n-1$时循环 $n-1$ 次，则总的代码执行次数为$1+2+...+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2}{n}^2-\frac{1}{2}n$。根据复杂度计算规则，保留高阶项，并去掉系数，那么插入排序算法的时间复杂度为$O(n^2)$。

  空间复杂度： $O(1)$。

  稳定性： 由于在比较的时候，对于两个相等的元素，不会进行移动，排序完成后，相同元素之间的先后顺序不变，所以插入排序是稳定的排序，如下图所示。

  优化插入排序算法： 对while循环的条件进行简化，以加快代码运行速度，并将插入排序函数分开编写。

  对于上述例子，优化实现代码如下所示。

#include<iostream>
using namespace std;

template<class T>
void Insertion(const T &temp, T *a, int j)
{
	a[0] = temp;
	//int j = i - 1;
	while (temp < a[j])  //使用a[0]设置条件，将之前版本的(in > 0 && a[in - 1] >= temp)条件进行简化，加快代码运行速度，j=0时a[j]=a[0]=temp，不满足条件，退出循环
	{
		a[j + 1] = a[j];
		j--;
	}
	a[j + 1] = temp;
}

template<class T>
void InsertionSort(T *a, int n)
{
	//a[0]用来保存排序使用，不能保存原始数据
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		T temp = a[i];
		Insertion(temp, a, i - 1);
		//a[0] = temp;
		//int j = i - 1;
		//while (temp < a[j])  //使用a[0]设置条件，将之前版本的(in > 0 && a[in - 1] >= temp)条件进行简化，加快代码运行速度，j=0时a[j]=a[0]=temp，不满足条件，退出循环
		//{
		//	a[j + 1] = a[j];
		//	j--;
		//}
		//a[j + 1] = temp;
	}
}

int main()
{
	int a[] = { 0,4,2,8,0,5,7,1,3,6,9 };  //在数组前面多加一个0，用于退出循环的条件

	cout << "排序前：" << endl;
	for (int i = 1; i < 11; i++)
	{
		cout << a[i] << "  ";
	}
	cout << endl;

	InsertionSort(a, 10);

	cout << "排序后：" << endl;
	for (int i = 1; i < 11; i++)
	{
		cout << a[i] << "  ";
	}
	cout << endl;

	double b[] = { 0,4.1,2.2,8.3,0.4,5.5,7.6,1.7,3.8,6.9,9.0 };

	cout << "排序前：" << endl;
	for (int i = 1; i < 11; i++)
	{
		cout << b[i] << "  ";
	}
	cout << endl;

	InsertionSort(b, 10);

	cout << "排序后：" << endl;
	for (int i = 1; i < 11; i++)
	{
		cout << b[i] << "  ";
	}
	cout << endl;

	system("pause");

	return 0;
}

排序前：
4 2 8 0 5 7 1 3 6 9
排序后：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
排序前：
4.1 2.2 8.3 0.4 5.5 7.6 1.7 3.8 6.9 9
排序后：
0.4 1.7 2.2 3.8 4.1 5.5 6.9 7.6 8.3 9