hdu 4986 Arc of Dream 矩阵快速幂求递推式

本文介绍了一种通过矩阵快速幂方法解决弧梦曲线递推问题的算法。该算法利用矩阵运算将问题复杂度降低到O(5*5*5*logn),适用于求解大规模递推问题。文章提供了完整的C++代码实现。

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Arc of Dream

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Problem Description
An Arc of Dream is a curve defined by following function:

where
a 0 = A0
a i = a i-1*AX+AY
b 0 = B0
b i = b i-1*BX+BY
What is the value of AoD(N) modulo 1,000,000,007?
 

Input
There are multiple test cases. Process to the End of File.
Each test case contains 7 nonnegative integers as follows:
N
A0 AX AY
B0 BX BY
N is no more than 10 18, and all the other integers are no more than 2×10 9.
 

Output
For each test case, output AoD(N) modulo 1,000,000,007.
 

Sample Input
  
1 1 2 3 4 5 6 2 1 2 3 4 5 6 3 1 2 3 4 5 6
 

Sample Output
  
4 134 1902
 

Author
Zejun Wu (watashi)
 

Source
 

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先将式子转化为递推式, Sn = Sn-1+an-1*bn-1, 其中an*bn也是递推式an*bn=ax*bx*an-1*bn-1+ax*by*an-1+ay*bx*bn-1+ay*by。

递推式可以转为矩阵快速幂O(n^3logk)复杂度,n*n的矩阵的k次幂

[sn an-1*bn-1 an-1 bn-1 1] = [ sn-1 an-2*an-2 an-2 bn-2 1]* [  [1 ax*bx ax*by ay*bx ay*by]  [0 ax*bx ax*by ay*bx ay*by] [0 0 ax 0 ay] [0 0 0 bx by] [0 0 0 0 1]] //共5列

前两个矩阵为1*5,最后个矩阵为5*5.根据递推公式很容易列出第一个矩阵每一项对应的列的系数是什么,从而得到最后一个矩阵。

复杂度是O(5*5*5*logn)


#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define M 1000000007

typedef unsigned long long ll;
typedef vector<ll> vec;
typedef vector<vec> mat;

mat mul(mat &a, mat &b)
{
    mat c(a.size(), vec(b[0].size()));
    for(int i = 0 ;i < a.size(); i++)
        for(int j = 0; j < b.size(); j++)
        for(int k = 0; k < b[0].size(); k++)
          c[i][k] = (c[i][k]+a[i][j]*b[j][k])%M;

    return c;
}

mat power(mat a, ll n)
{
    mat  b(a.size(), vec(a.size()));
    for(int i = 0; i < a.size(); i++)
        b[i][i] = 1;
    while(n > 0){
        if(n&1) b = mul(b,a);
        a = mul(a, a);
        n >>= 1;
    }
    return b;
}

int main()
{

    ll n;
    ll a0,ax,ay,b0,bx,by;
    while(cin >> n){
        cin >> a0 >> ax>> ay >> b0 >> bx >> by;
        if(!n){
            cout << 0 <<endl;
            continue;
        }

        a0%=M,b0%=M,ax%=M,ay%=M,bx%=M,by%=M;
        mat a(5, vec(5));
        a[0][0] = 1;
        a[1][0] = ax*bx%M,a[1][1] = ax*bx%M;
        a[2][0] = ax*by%M, a[2][1]=ax*by%M,a[2][2] = ax;
        a[3][0] = ay*bx%M, a[3][1]=ay*bx%M,a[3][3] = bx;
        a[4][0] = by*ay%M, a[4][1] = by*ay%M, a[4][2] = ay, a[4][3] = by, a[4][4] = 1;


        a = power(a, n-1);
        mat fir(1, vec(5));
        fir[0][0] = a0*b0%M, fir[0][1] = a0*b0%M, fir[0][2] = a0, fir[0][3] = b0, fir[0][4] = 1;
        mat ans = mul(fir, a);
        cout << ans[0][0] << endl;
    }
    return 0;
}




### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需也较低,适合此类场景下的应用。 ---
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