二分法，平衡二叉树、B树、B+树

最新推荐文章于 2024-09-06 10:46:51 发布

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#b树 #数据结构

本文详细介绍了二分法查找、平衡二叉树（包括AVL和红黑树）的概念、构建规则以及B树和B+树的区别，重点讲解了它们在数据查找和存储方面的优势与特性。

二分法，平衡二叉树、B树、B+树

二分法

二分法查找

首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功

算法要求

必须采用顺序存储结构
必须按关键字大小有序排列

比较次数

计算公式：
当顺序表有n个关键字时：
查找失败时，至少比较a次关键字；查找成功时，最多比较关键字次数是b
a,b,n均为正整数

二分法到二叉树

二分法是我们常用的一种查找算法，可以有效的提升数据找找的效率，其实现思路是：
首先对数据集进行排序
找到数据集中间位置的节点
用查找的条件和中间节点进行比较，等于则直接返回，中间节点数据小于查找条件则说明数据在排序列表的左边，大于则说明数据在排序列表的右边。

平衡二叉树

平衡二叉树概念

平衡二叉树是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

平衡二叉树的构建规则

（1）非叶子节点只能允许最多两个子节点存在
（2）每一个节点的左边子节点值小于当前节点，右边的子节点值大于当前节点；
（3）通过平衡算法（比如Treap、AVL、红黑树），保证树左右节点的高度相差不超过2层

平衡二叉树特点

平衡二叉树是采用二分法思维把数据按规则组装成一个树形结构的数据，用这个树形结构的数据减少无关数据的检索，大大的提升了数据检索的速度；平衡二叉树的数据结构组装过程有以下规则：

总结平衡二叉树特点：
（1）非叶子节点最多拥有两个子节点；
（2）非叶子节值大于左边子节点、小于右边子节点；
（3）树的左右两边的层级数相差不会大于1;
（4）没有值相等重复的节点;

B树(B-tree)

B树和平衡二叉树的不同之处是：B树属于多叉树又名平衡多路查找树（查找路径不止两个），数据库索引技术里大量使用着B树和B+树的数据结构。

B树的构建规则

（1）排序方式：所有节点关键字是按递增次序排列，并遵循左小右大原则；
（2）子节点数：非叶节点（根节点和枝节点）的子节点数 >1、且子节点数量<=M 、且M>=2，空树除外（注：M阶代表一个树节点最多有多少个查找路径，M=M路,当M=2则是2叉树,M=3则是3叉）；
（3）关键字数：枝节点的关键字数量大于等于ceil(m/2)-1个且小于等于M-1个（注：ceil()是个朝正无穷方向取整的函数如ceil(1.1)结果为2);
（4）所有叶子节点均在同一层、叶子节点除了包含了关键字和关键字记录的指针外，也有指向其子节点的指针只不过其指针地址都为null对应下图最后一层节点的空格子;

B树的查询流程

如果我们需要找到E字母，查找流程如下（26个字母顺序）

（1）获取根节点的关键字进行比较，当前根节点关键字为M，E<M（26个字母顺序），所以往找到指向左边的子节点（二分法规则，左小右大，左边放小于当前节点值的子节点、右边放大于当前节点值的子节点）；
（2）拿到关键字D和G，D<E<G 所以直接找到D和G中间的节点；
（3）拿到E和F，因为E=E 所以直接返回关键字和指针信息（如果树结构里面没有包含所要查找的节点则返回null）；

B+树

B+树是在B树的基础上又一次的改进，其主要对两个方面进行了提升，一方面是查询的稳定性，另外一方面是在数据排序方面更友好。

B+树构建规则

（1）B+树的非叶子节点不保存具体的数据，而只保存关键字的索引，而所有的数据最终都会保存到叶子节点。因为所有数据必须要到叶子节点才能获取到，所以每次数据查询的次数都一样，这样一来B+树的查询速度也就会比较稳定，而B树的查找过程中，不同的关键字查找的次数很有可能都是不同的（有的数据可能在根节点，有的数据可能在最下层的叶节点），所以在数据库的应用层面，B+树就显得更合适
（2）B+树叶子节点的关键字从小到大有序排列，左边结尾数据都会保存右边节点开始数据的指针。因为叶子节点都是有序排列的，所以B+树对于数据的排序有着更好的支持
（3）非叶子节点的子节点数=关键字数