求解【最大公约数】：从暴力枚举到辗转相除法

你在刷题时是否遇到过超时困惑？明明测试样例通过却总卡在TLE（超时错误）？本文通过最大公约数（GCD）这一经典问题，带你用暴力枚举法直击算法效率瓶颈，再用欧几里得算法实现千倍性能飞跃。文末附赠LeetCode实战优化技巧,助你彻底掌握从理论到落地的完整优化链路!

目录

一、问题定义与应用场景

1.1 什么是最大公约数

二、求解方法

方法一：枚举-暴力求解

方法二：辗转相除法（欧几里得算法）

为什么辗转相除法更高效？

三、在线验证工具

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一、问题定义与应用场景

1. 什么是最大公约数

• 数学定义：两个整数的最大公共因数（能同时整除两个整数的最大正整数）

• 示例：12和18的公约数为1,2,3,6 → GCD=6，表示为  gcd(12,18)=6

• 应用场景：

        分数化简（3/9 → 1/3）

        密码学（RSA算法基础）

        图形学（屏幕宽高比适配）

二、求解方法

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方法一：枚举-暴力求解

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1.算法思路：

        逆向遍历法：首先找两数中的较小值，从两数较小值开始递减遍历，找到首个能同时整除的因子

        算法思路图解：    

int main()
{
	int x, y;
	scanf("%d %d", &x, &y);
	int min = x < y ? x : y;//找到最小值
    //倒序遍历
	for (int i = min; i > 0; i--)
	{
		if ((x % i == 0) && (y % i == 0))
		{
			printf("%d", i);
			break;
		}
	}
	return 0;
}

2.复杂度分析

• 时间复杂度：O(min(a,b))

• 空间复杂度：O(1)

• 适合场景：小数据量（数值<1e4）

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方法二：辗转相除法（欧几里得算法）

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1.数学原理证明

        定理：gcd(a,b) = gcd(b, a mod b) 

        递归推导：gcd(48, 18) = gcd(18, 12) 

                                             = gcd(12, 6)

                                             = gcd(6, 0) 

                                             = 6

int main()
{
	int m, n;
	scanf("%d %d", &m, &n);
	int k = 0;
	while (k = m % n) //当余数为0时终止
	{
		m = n;
		n = k;
	}
	printf("%d", n);
	return 0;
}

说明：要求 m 和 n 的最大公约数，就让 m % n，若余数 k 不为0，就把 n 的值赋给 m ，k 的值赋给 n ,以此类推，直到余数为 0 ，最后 n 就是要找的最大公约数

2.复杂度对比

算法	平均时间复杂度	最坏情况
暴力枚举	O(n)	O(n)
辗转相除法	O(log n)	O(log n)

为什么辗转相除法更高效？

        数学解释：每次迭代至少减少一半数值（斐波那契数列衰减）

三、在线验证工具

1979. 找出数组的最大公约数 - 力扣（LeetCode）