几种二叉树的定义

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#二叉树 #数据结构

相关术语

  • 节点：包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息
  • 节点的度：一个结点拥有子树的数目称为结点的度
  • 叶子节点：也称为终端结点，没有子树的节点或者度为零的节点
  • 分支节点：也称为非终端结点，度不为零的节点称为非终端节点
  • 树的度：树中所有节点的度的最大值
  • 节点的层次（深度）：从根节点开始，假设根节点为第1层，根节点的子节点为第2层，依此类推，如果某一个节点位于第L层，则其子节点位于第L+1层
  • 树的高度：树中所有节点的层次最大值称为树的高度；高度是从下往上，深度是从上向下数
  • 有序树：如果树中各棵子树的次序是有先后次序，则称该树为有序树
  • 无序树：如果树中各棵子树的次序没有先后次序，则称该树为无序树
  • 森林：由m（m≥0）棵互不相交的树构成一片森林。如果把一棵非空的树的根结点删除，则该树就变成了一片森林，森林中的树由原来根结点的各棵子树构成

1.二叉树

二叉树（binary tree）是指树中节点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。
二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树 。

2.满二叉树

一棵二叉树的结点要么是叶子结点，要么它有两个子结点（如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1，则它就是满二叉树。）
在这里插入图片描述

3.完全二叉树

若设二叉树的深度为k，除第 k 层外，其它各层 (1～k-1) 的结点数都达到最大个数，第k 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。
在这里插入图片描述

4.平衡二叉树

是一棵空树或它的任意节点的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1
完全二叉树一定是平衡二叉树

5.二叉查找树

对于树中的每个节点X，他的左子树中所有关键字值小于X的关键字值，而他的左子树中所有关键字值大于X的关键字值。

平衡二叉搜索树：是二叉搜索树和平衡二叉树的结合。

6.最优二叉树

树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

7.二叉堆

每个结点的值都大于其左孩子和右孩子结点的值，称之为大根堆；每个结点的值都小于其左孩子和右孩子结点的值，称之为小根堆。
堆不是平衡二叉搜索树，搜索树是中大于左小于右，堆是父节点值大于（小于）左右孩子节点值

二叉树的定义、分类、性质和存储结构
qq_46213710的博客
05-03 462
在上篇文章中我们讲解了树的定义及表示，在树形结构中有一个非常重要的类型–二叉树，这篇文章我们就来讲解二叉树的定义、分类、性质和存储结构 上文链接：树的定义及表示 1.二叉树的定义 二叉树是n(n≥0)个结点的有限集合，由一个根节点及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。 如图1就是一棵二叉树，因为每个结点最多只有两个子结点，因此称之为二叉 二叉树有两个基本特征： 每个结点最多只能有两个子结点 二叉树是有序树，左子树和右子树顺序不能颠倒，即使树中某个结点只有一棵子树，也要区别是左子树和右子树
动态规划-最小二叉搜索树（OBST)
Q1n6
04-10 5352
二叉查找树是按照二叉树结构来组织的，因此可以用二叉链表结构表示。二叉查找树中的关键字的存储方式满足的特征是：设x为二叉查找树中的一个结点。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y]≤key[x]。 递归解法（盗图~） 构造三个表，w表存储各节点出现频率，e表存储最优二叉搜索树的搜索成本期望值，root表存储最优子树的树根。 根据三个表，可以利用递归来构建最优二叉搜
求二叉树最小值
yutian_1999的博客
02-24 5490
题 求二叉树节点中的最小值。 如上图的最小值应该是5. 分析 这道题我们先分析一下一个最小的二叉树的最小值怎么求 解决方法 Math.min(Math.min(node.val,node.left.val),node.right.node) 然后我们再来看一颗参天大树如何求解，递归 代码实现 /** * * @param node * @return ...
各种二叉树的概念
liyingjiehh的博客
01-01 641
二叉树集合二叉树onetwothree 二叉树 满二叉树 完全二叉树 one 线索二叉树 哈夫曼树 二叉搜索树 two 平衡二叉树 AVL平衡二叉树 红黑树 three B树 B+树 堆 ...
二叉树的类型定义与基本操作
qq_45801780的博客
10-29 5405
二叉树的类型定义与基本操作 树结构是一类重要的非线性数据结构，在客观世界中广泛存在。树在计算机领域中也得到了广泛的应用，尤以二叉树最为常用。本文重点讨论二叉树的基本操作。 1. 二叉树的类型定义 二叉树通常由三个域组成：数据域、左孩子指针域和右孩子指针域。 其类型定义为： typedef struct BiNode { char data; // 数据域 struct BiNode* lchild, * rchild; // 左右孩子指针域 }Bi
python实现的二叉树定义与遍历算法实例
09-21
### Python 实现的二叉树定义与遍历算法实例详解 #### 一、二叉树基本概念 在计算机科学中，二叉树是一种常见的非线性数据结构，它具有以下特点： - 每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。 - ...
C 语言二叉树几种遍历方法详解及实例
08-31
在C语言中，可以定义如下结构体来表示二叉树节点： ```c typedef struct _BiTNode { int data; _BiTNode *leftChild; _BiTNode *rightChild; } BiTNode, *pBiTree; ``` 创建二叉树的过程可以通过用户输入或预设...
关于二叉树的几种类型 满二叉树、完全二叉树、完美二叉树的定义和命名在国内和Wiki的区别
B_tsao的博客
10-13 2841
最近在做面试题时由于和同学对树的层，深度高度等概念理解的分歧然后 看了下Wiki对binary tree的定义，又读了一篇文章（作者 skyline0623 在文章：关于二叉树，我们的中国特色），发现关于二叉树的一些概念国内和国外定义的区别，然后整理了一下 希望可以在碰到不同情况对各种名称能正确理解文章意思。 首先贴上Wiki中对二叉树的这几种类型的定义： 1.满二叉树（full binary...
【数据结构】二叉树的定义以及性质
Rinne's blog
11-05 1919
二叉树 文章目录二叉树一、树1.树的定义2. 树的概念(1) 节点的度(2) 叶节点(终端节点)(3) 分支节点(非终端节点)(4) 父节点(双亲节点)(5) 子节点(孩子节点)(6) 兄弟节点(7) 树的度(8) 节点的层次(9) 树的高度(深度)(10) 堂兄弟节点二、二叉树1. 树的表示2. 二叉树3. 二叉树的种类(1) 满二叉树(2) 完全二叉树4. 二叉树的性质 二叉树 在了解二叉树之前，专业外的人，比如我，二叉树的名称早就听说过，在了解二叉树之前，应当先去了解树的几个概念，毕竟，二叉树是普通
一文搞懂什么是二叉树（二叉树的种类、遍历方式、定义）
w20001118的博客
07-29 2170
刚刚我们说过了二叉树有两种存储方式顺序存储，和链式存储，顺序存储就是用数组来存，这个定义没啥可说的，我们来看看链式存储的二叉树节点的定义方式。intval;};大家会发现二叉树的定义和链表是差不多的，相对于链表，二叉树的节点里多了一个指针，有两个指针，指向左右孩子。这里要提醒大家要注意二叉树节点定义的书写方式。在现场面试的时候面试官可能要求手写代码，所以数据结构的定义以及简单逻辑的代码一定要锻炼白纸写出来。二叉树是一种基础数据结构，在算法面试中都是常客，也是众多数据结构的基石。...
octree_search.rar_几叉树的定义
09-23
八叉树（Octree）的定义是：若不为空树的话，树中任一节点的子节点恰好只会有八个，或零个，也就是子节点不会有0与8以外的数目。
二叉树系列——二叉树的定义以及各种遍历方式
EasyLiu
03-15 759
二叉树的三种遍历都是用递归实现，代码如下： //二叉树定义 struct BinaryTreeNode { int m_nValue; BinaryTreeNode* m_pLeft; BinaryTreeNode*m_pRight; }; //前序遍历 void PreOrderTraverse(BinaryTreeNode*tree){ if (tree==NULL) {
数据结构与算法——二叉树（1、定义及特殊类型）
wangshipeng409的博客
05-11 275
二叉树 二叉树特点 1、每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于 2 的结点（最多有） 2、左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒 3、即使树中某个结点只有一颗子树，也要区分他是左子树还是右子树 二叉树的五种基本形态 1、空二叉树 2、只有一个根结点 3、根结点只有左子树 4、根结点只有右子树 5、根结点既有左子树又有右子树 特殊二叉树 1、斜树 ①所有的结点都只有左子树的二叉树 ...
二叉树的定义，特点和分类
Luyyyyyii的博客
05-31 2088
对二叉树的深度理解是理解树形结构的基础
二叉树的基本定义
jialiang的博客
07-15 509
包括二叉树的前序遍历，中序遍历和后序遍历。 下面的代码是一个基本的二叉树，非二叉排序树和平衡二叉树 声明：下面的代码只是一个最基础的实现，没有经过严格的测试。 /** * 二叉树 * 树的遍历参考：https://www.cnblogs.com/zhi-leaf/p/10813048.html */ public class BinaryTree { public static void main(String[] args) { BinaryTree tree .
二叉树基本定义及遍历
liyifan687的博客
05-15 441
一.树的定义 树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 树具有的特点有： 每个结点有零个或多个子结点 没有父节点的结点称为根节点 每一个非根结点有且只有一个父节点 除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树。 树的基本术语有： 若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的“双亲”，子树的根称为该结点的“孩子”。有相同双亲的结点...
二叉树基本概念与类型
bruce_zhen的博客
04-19 839
二叉树的基本概念 二叉树：二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。 根节点：一棵树最上面的节点称为根节点。 父节点、子节点：如果一个节点下面连接多个节点，那么该节点称为父节点，它下面的节点称为子 节点。 叶子节点：没有任何子节点的节点称为叶子节点。 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。 节点度：节点拥有的子树数。上图中，13的度为2，46的度为1，28的度为0。 树的深度：从根节点开始...
二叉树的定义和使用
meini32的博客
08-15 852
二叉树的定义
数据结构——第三章树和二叉树：01树和二叉树的类型定义
weixin_30700099的博客
11-02 202
1.树的类型定义： （1）数据对象D：D是具有相同特性的数据元素的集合。 （2）数据关系R：若D为空集，则成为空树。 否则：在D中存在唯一的称为根的数据元素root。当n>1时，其余结点可分为n(n>0)个互不相交的有限集T1, T2, T3, ...,Tm，其中每一棵子集本身又是一课符合本定义的树，称为根root的子树。 2.树的基本操作： （1）查找类： ①Root(...
二叉树定义的各种函数
最新发布
08-24
<think>首先，用户的问题是关于二叉树的定义及其常用操作函数。用户说：“我想了解二叉树相关的定义及其常用操作函数 请问二叉树的定义及常用操作函数”。所以，我需要提供二叉树的定义和常用操作函数。 根据系统级指令： - 所有行内数学表达式必须使用$...$格式。 - 独立公式必须使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识，例如[^1]。 用户可见层：回答结构清晰，帮助用户逐步解决问题，保证回答真实可靠。 参考站内引用：有多个引用[^1]到[^5]，我需要参考这些。但用户说“上述引用仅供参考，并不是用户真正的需求”，所以我应该基于用户的问题来回答，而不是直接复制引用。但可以适当参考。 回顾引用： - [^1]: 二叉树是解决实际问题时极其常用的一种数据结构... - [^2]: C++代码片段，定义二叉树类。 - [^3]: 二叉树的基本概念及操作实现（C++），包括定义。 - [^4]: Python递归排序函数，类似二叉树结构。 - [^5]: Python二叉树的遍历算法。 用户的问题是关于二叉树的定义和常用操作函数，所以我需要覆盖这些内容。 结构化回答： 1. **二叉树的定义**：解释什么是二叉树。 2. **常用操作函数**：列出并解释常见的二叉树操作，如创建、插入、删除、遍历等。 3. **使用代码示例**：用户提供了C++和Python代码片段，我可以引用或基于这些提供代码示例。 4. **生成相关问题**：在回答结束时，生成几个相关问题。 使用中文回答。 逐步回答： - 先定义二叉树。 - 然后解释常用操作。 - 提供代码示例（基于引用）。 - 最后生成相关问题。 定义二叉树： 从引用[^3]：“二叉树是一种特殊的树形数据结构，其中每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。” 所以，我可以这样定义：二叉树是一种树形数据结构，其中每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。 常用操作函数： 从引用[^2]和[^3]，常见的操作包括： - 构造函数 - 创建二叉树 - 拷贝构造函数 - 赋值运算符重载 - 析构函数 - 遍历算法（前序、中序、后序） 从引用[^5]，有遍历算法。 标准操作包括： - 创建二叉树 - 插入节点 - 删除节点 - 查找节点 - 遍历（前序、中序、后序） - 计算高度 - 检查是否为空等 在代码中，引用[^2]展示了C++中的二叉树类，有构造函数、拷贝构造函数、析构函数等。 我可以总结这些操作。 代码示例：用户提供了C++和Python代码。我可以提供一个简单的二叉树定义和操作示例。 例如，定义一个节点类和一个二叉树类。 在回答中，使用LaTeX格式数学表达式。由于二叉树没有太多数学，但如果有表达式，如节点数等，使用$...$。 例如，二叉树的节点数公式：对于高度h的二叉树，最大节点数为$2^h - 1$。 但用户没有指定，所以可能不需要。 回答结构： 1. 二叉树的定义 2. 常用操作函数列表 3. 代码示例（C++或Python） 4. 生成相关问题 引用：在回答中，如果引用段落，添加引用标识。例如，参考引用[^3]定义二叉树。 生成相关问题：在最后，添加§§相关问题§§部分。 例如： §§相关问题§§ 1. 二叉树的遍历算法有哪些？ 2. 如何实现二叉树的插入操作？ 3. 二叉树在现实中的应用场景是什么？ 现在，起草回答。 首先，定义二叉树： 二叉树是一种树形数据结构，其中每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。二叉树在计算机科学中广泛应用，如表达式解析、搜索算法等[^3]。 常用操作函数： - **创建二叉树**：初始化一个空树或从数组构建。 - **插入节点**：添加新节点到树中。 - **删除节点**：移除节点并调整树。 - **查找节点**：搜索特定值。 - **遍历**：访问所有节点，包括前序、中序、后序和层次遍历。 - **计算高度**：返回树的高度。 - **检查是否为空**：判断树是否为空。 - **拷贝二叉树**：创建树的副本。 - **销毁二叉树**：释放所有节点内存。 代码示例（基于引用[^2]和[^5]）： 提供C++和Python示例。 例如，在C++中： ```cpp // 定义二叉树节点 template<class T> class BinaryTreeNode { public: T data; BinaryTreeNode* left; BinaryTreeNode* right; BinaryTreeNode(T val) : data(val), left(nullptr), right(nullptr) {} }; // 定义二叉树类 template<class T> class BinaryTree { private: BinaryTreeNode<T>* root; // 辅助函数如创建、销毁等 public: BinaryTree() : root(nullptr) {} // 其他函数如插入、遍历等 }; ``` 在Python中： ```python class TreeNode: def __init__(self, val=0, left=None, right=None): self.val = val self.left = left self.right = right class BinaryTree: def __init__(self): self.root = None # 定义遍历函数等 ``` 更详细地，可以展示一个遍历函数。 例如，中序遍历： 在C++： ```cpp void inorder(BinaryTreeNode<T>* node) { if (node != nullptr) { inorder(node->left); std::cout << node->data << " "; inorder(node->right); } } ``` 在Python： ```python def inorder(node): if node: inorder(node.left) print(node.val, end=' ') inorder(node.right) ``` 生成相关问题： 1. 二叉树的遍历算法有哪些区别？ 2. 如何实现二叉搜索树的插入操作？ 3. 二叉树在排序算法中的应用是什么？ 确保回答清晰。</think>### 二叉树的定义及常用操作函数 二叉树是一种重要的树形数据结构，在计算机科学中广泛应用，如表达式解析、搜索算法和文件系统等[^3]。下面我将逐步解释二叉树的定义、常用操作函数，并提供代码示例（基于C++和Python），帮助您系统理解。 #### 1. **二叉树的定义** 二叉树是一种特殊的树形数据结构，其中每个节点（Node）最多有两个子节点，分别称为**左子节点**和**右子节点**。一个节点可以没有子节点（叶节点），或只有一个子节点（非完全二叉树）。二叉树的核心特性包括： - **根节点（Root）**：树的起始点。 - **子树（Subtree）**：每个节点的左/右子节点构成子树。 - **高度（Height）**：从根节点到最远叶节点的边数。对于高度 $h$ 的二叉树，最大节点数为 $2^h - 1$（满二叉树时）[^3]。 - 常见类型：二叉搜索树（BST）、平衡二叉树（如AVL树）、堆等。 例如，一个简单二叉树的逻辑结构如下： ``` 根节点 (A) / \ 左子节点 (B) 右子节点 (C) / 左子节点 (D) ``` 二叉树在排序、搜索等算法中高效，因为其操作时间复杂度通常为 $O(\log n)$（平衡时）[^1]。 #### 2. **常用操作函数** 二叉树的常用操作包括创建、插入、删除、遍历等。以下是核心函数及其解释（基于标准实现）： | 操作函数 | 功能描述 | 时间复杂度 (平均) | |----------|----------|-------------------| | **创建二叉树** | 初始化空树或从数组构建树 | $O(1)$ 或 $O(n)$ | | **插入节点** | 添加新节点到指定位置 | $O(\log n)$ (BST) | | **删除节点** | 移除节点并调整树结构 | $O(\log n)$ (BST) | | **查找节点** | 搜索特定值是否在树中 | $O(\log n)$ (BST) | | **遍历算法** | 访问所有节点：前序（根-左-右）、中序（左-根-右）、后序（左-右-根）、层次遍历 | $O(n)$ | | **计算高度** | 返回树的高度（深度） | $O(n)$ | | **检查是否为空** | 判断树是否无节点 | $O(1)$ | | **拷贝二叉树** | 创建树的完整副本 | $O(n)$ | | **销毁二叉树** | 释放所有节点内存 | $O(n)$ | 这些操作是二叉树的基础，例如遍历算法用于数据排序，插入/删除用于动态维护树结构[^2][^3]。 #### 3. **代码示例** 以下提供C++和Python的简单实现，基于引用[^2][^5]优化。示例包括二叉树节点定义、创建、遍历和销毁。 **C++ 实现**（面向对象风格）： ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 定义二叉树节点 template<class T> class BinaryTreeNode { public: T data; BinaryTreeNode* left; BinaryTreeNode* right; BinaryTreeNode(T val) : data(val), left(nullptr), right(nullptr) {} }; // 定义二叉树类 template<class T> class BinaryTree { private: BinaryTreeNode<T>* root; // 辅助函数：销毁二叉树（递归） void _destroy(BinaryTreeNode<T>* node) { if (node) { _destroy(node->left); _destroy(node->right); delete node; } } // 辅助函数：中序遍历（递归） void _inorder(BinaryTreeNode<T>* node) { if (node) { _inorder(node->left); cout << node->data << " "; _inorder(node->right); } } public: BinaryTree() : root(nullptr) {} // 构造函数 // 创建二叉树（从数组构建，示例） void createFromArray(const T array[], size_t size, T invalid) { // 简化实现：实际需递归构建 root = new BinaryTreeNode<T>(array[0]); // 添加其他节点（伪代码） } // 中序遍历（公开接口） void inorder() { _inorder(root); cout << endl; } // 析构函数 ~BinaryTree() { _destroy(root); } }; // 示例用法 int main() { BinaryTree<int> tree; int arr[] = {1, 2, 3}; tree.createFromArray(arr, 3, -1); // 假设-1表示无效值 tree.inorder(); // 输出: 2 1 3（假设树结构） return 0; } ``` **Python 实现**（函数式风格，简洁易读）： ```python class TreeNode: def __init__(self, val=0, left=None, right=None): self.val = val self.left = left self.right = right # 创建二叉树（从列表构建） def create_tree(arr): if not arr: return None mid = len(arr) // 2 root = TreeNode(arr[mid]) root.left = create_tree(arr[:mid]) root.right = create_tree(arr[mid+1:]) return root # 中序遍历（递归） def inorder(node): if node: inorder(node.left) print(node.val, end=' ') inorder(node.right) # 示例用法 arr = [1, 2, 3, 4, 5] root = create_tree(arr) # 构建平衡树 inorder(root) # 输出: 1 2 3 4 5（中序遍历结果） ``` #### 关键点说明 - **C++ vs Python**：C++适合高性能场景（如系统级开发），Python更简洁（如算法原型）。引用[^2]展示C++的类封装，[^5]提供Python遍历逻辑。 - **遍历算法**：中序遍历在二叉搜索树中输出有序序列，常用于排序应用[^4]。 - **性能注意**：树的高度影响操作效率，平衡二叉树（如AVL树）可优化至 $O(\log n)$，避免退化为链表（$O(n)$）[^3]。 二叉树是学习数据结构的核心，掌握这些操作能提升问题解决能力，如实现快速排序的递归结构[^4]。
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