动态规划学习笔记（dynamic programing）

导读：

近两天开始学习动态规划，有一说一，学着真的d疼，动态规划是从暴力递归来的，一步步的推算真的让人找不到南北，不过，也有一说一，动态规划的思想确实先进，了解了动态规划的思想，问题就变得好解决多了。

动态规划的思想：若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再根据子问题的解以得出原问题的解。

线性动态规划

线性动态规划的主要特点是状态的推导是按照问题规模 i 从小到大依次推过去的，较大规模的问题的解依赖较小规模的问题的解。

单串问题：

• 依赖比 i 小的 O(1) 个子问题
  dp[n] 只与常数个小规模子问题有关，状态的推导过程 dp[i] = f(dp[i - 1], dp[i - 2], …)，当 f(dp[i-1], …) = dp[i-1] + nums[i] 时，当前状态 dp[i] 仅与 dp[i-1] 有关，如爬楼梯问题，其答案只和前面两个答案相关
• 依赖比 i 小的 O(n) 个子问题
  dp[n] 与此前的更小规模的所有子问题 dp[n - 1], dp[n - 2], …, dp[1] 都可能有关系，需将他们都遍历一遍，如最长子序列问题，其要找到前面的每一个元素对应的最长最序列

带维度单串

双串问题

一般使用二维矩阵dp来表示，有两个输入从串，长度分别为 m, n，此时子问题需要用 i, j 两个变量表示，分别代表第一个串和第二个串考虑的位置 dp[i][j]:=第一串考虑[0…i]，第二串考虑[0…j]时，原问题的解。

较大规模的子问题只与常数个较小规模的子问题有关，其中较小规模可能是 i 更小，或者是 j 更小，也可以是 i，j 同时变小

一般情况下和dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]有关。

说了这么多，上一个题吧。leetcode1143：最长公共子序列

构建一个二维矩阵dp，当有相同元素时就在dp[i][j-1]基础上加一，否则就在dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]取最大值，为什么这么做呢？主要有以下两点（个人见解）：

• 当两个字符相等的时候，说明匹配上了，就在原来的基础上加1。这一点是明显的，但是怎么知道上一个子序列在哪里呢？他们又不是相邻的？
• 当他们不同的时候，选择max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j])是因为这样可以传递他们的最长的公共子序列的长度，为后面的有相同的打基础。

dp路径问题