最小生成树

常用的有三种方法

相关代码，请参考《北大ACM2485 - Highways（最小生成树）》

朴素Prim算法

Prim算法思路

从任意一个顶点（它就是最后生成树的根结点）开始，首先设置和它相邻顶点的权值（指该顶点和相邻顶点已知长度最小边的长度；初始值是无穷大），然后将所有未加入生成树顶点中权值最小的顶点加入到生成树中，然后更新新加入生成树顶点相邻顶点的权值；依次执行，直到所有顶点都加入到了生成树中。

算法的正确性，就不做详细说明了，这是一个贪心算法。

朴素Prim分析

每次从其中选择一个未处理过的权值最小的顶点，花销是O(n)；然后更新和该顶点相连的顶点的权值，花销是o(n)；共需要进行n次，花销是o(n)，以上三个步骤是嵌套关系，所以花销是o(n3)。

Prim + heap算法

朴素Prim算法在寻找未处理过的权值最小的顶点时，由于没有将这些顶点的权值进行排序，所以每次寻找这个权值最小的顶点都需要O(n)的时间；在更新顶点的权值时，是有机会对顶点权值进行排序的。这些顶点的权值应用优先级队列管理，那么更新一个顶点的权值需要O(lgn)，寻找并删除权值最小的顶点需要O(1)+O(lgn)。

所以通过优先级队列，所以效率得到了提高，该算法的时间复杂度是O(ElgV)，所以，当边数比较少时，效率提高得会很明显。

Kruskal算法

思路

以边为考虑对象，每次选择最小的边，将该边和顶点加入到生成树中：

1. 刚开始时，是n个顶点组成的森林，生成树还为空；

2. 选择最小的边，判断这个边的两个顶点是否已经在一个树中了，如果已经在了，就丢弃这个边，因为加上这个边，这个树就会有回路；

3. 当所有的边，或者所有的顶点都处理后，就可以停止了，这个时候就组成了一个最小生成树；

分析

1. 这个过程是先有n个只有一个节点的树，慢慢变成了有多个节点的树，最后这些树组成了一个树；

2. 在这个过程中，用的最多的是集合的方法，有判断两个节点是否属于一个树（两个元素是否属于一个集合）、合并两棵树（合并两个集合），所以，很自然地想到使用《不相交集合》中的理论。