学二叉堆有感

在认识二叉堆之前，先讲一下完全二叉树的定义：完全二叉树指的是除了最后一层的叶子节点意外，其他层的节点都有2个儿子，而且最后一层的叶子从左往右排，例如下图1是一棵完全二叉树，图2就不是。

二叉堆有2种：每个节点的值都小于等于其儿子节点的值的堆，称为最小堆；每个节点的值都大于等于其儿子节点的值的堆，称为最大堆。

以下以最小堆为例

设二叉堆的某个节点为p，它的左儿子是2p,右儿子是2p + 1，基于这个性质， 我们可以在O(1)的时间访问到每一个节点，而且我们可以直接把所有节点存在一维数组里，不需要链表和其他的数据结构。

图3是一个最小堆

二叉堆的基本操作：

 1. 插入节点，假设现在一共有n个节点，我们先把新的节点放在n+1的位置上，然后进行向上调整，调整的具体过程是这样的，每一次都拿当前节点的值和它父亲的值比较，如果当前节点的值已经大于等于它父亲的值，那么调整结束；如果当前节点的值小于它父亲的值，那么交换它们的值，然后继续往上调整

这个过程称为上滤

void heap_up(int p) //插入元素
{
	int fa_p = (p >> 1);
	while (fa_p >= 1)
	{
		if (heap[fa_p] <= heap[p])
		{
			break;
		}
		heap[p] ^= heap[fa_p];
		heap[fa_p] ^= heap[p];
		heap[p] ^= heap[fa_p];
		p = fa_p;
		fa_p >>= 1;
	}
} 

2.删除根节点，可以把根节点的值设为无穷大，然后向下调整，每一次拿节点p和它两个儿子里值小的那个进行比较，如p的值大于等于它的那个儿子，就进行交换，否则调整结束，我们可以准确定位到值为无穷大的节点的位置x， 然后将当前二叉堆最后一个节点的值赋给节点x，然后n--，就实现了删除根节点的功能

这个过程称为下滤

void heap_down()// 下滤
{
	son_p = (p << 1);
	while (son_p <= n)
	{
		if (son_p < n && heap[son_p] > heap[son_p | 1])
		{
			son_p |= 1;
		}
		if (heap[p] <= heap[son_p])
		{
			break;
		}
		heap[p] ^= heap[son_p];
		heap[son_p] ^= heap[p];
		heap[p] ^= heap[son_p];
		p = son_p;
		son_p <<= 1;
	}                      
}

有n个节点的二叉堆，它的层数是logn,所以插入和删除操作最坏的时间复杂度是O(logn)