爬楼梯

  • 楼梯有n级台阶,上楼可以一步上1级,也可以一步上2级,计算有多少种不同的走法

  • 输入

    一个正整数n,占一行

  • 输出

    一个整数,占一行,问题的结果

  • 样例输入

    20

    33

  • 样例输出

    10946

    5702887





#include <stdio.h>

int main()
{
int n,a[41];//保存斐波那契数
a[1]=1;
    a[2]=2;
    for(int i=3;i<=40;++i)//计算斐波那契数
        a[i]=a[i-1]+a[i-2];
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
        printf("%d\n",a[n]);//直接将斐波那契数列值输出
    return 0;
}
### 动态规划实现爬楼梯问题 爬楼梯问题的核心思想是动态规划,其本质与斐波那契数列密切相关。对于给定的 `n` 台阶,每次可以爬 1 或 2 ,最终到达楼顶的不同方法数等于前一步骤的解之和。 #### 方法:使用数组存储中间结果 此方法通过数组来保存每一步的结果,时间复杂度为 $O(n)$,空间复杂度也为 $O(n)$。 ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; int[] dp = new int[n + 1]; dp[1] = 1; // 爬到第11种方法 dp[2] = 2; // 爬到第2有2种方法 for (int i = 3; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // 当前的方法数等于前两阶之和 } return dp[n]; } } ``` #### 方法二:优化空间复杂度 为了减少空间占用,可以仅使用两个变量记录前两步的结果,从而将空间复杂度优化至 $O(1)$。 ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; int prev = 1, curr = 2; for (int i = 3; i <= n; i++) { int temp = curr; curr = prev + curr; // 计算当前的方法数 prev = temp; // 更新前一个值 } return curr; } } ``` #### 方法三:公式法(基于斐波那契数列) 利用斐波那契数列的通项公式,直接计算出结果,时间复杂度为 $O(1)$,但需要注意精度问题。 ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { double sqrt5 = Math.sqrt(5); double fibN = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1); // 使用斐波那契公式 return (int) ((fibN - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1)) / sqrt5); } } ``` 以上代码实现了不同的解决方案,包括动态规划、空间优化以及数学公式法[^2]。 --- ### 相关问题
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