LeetCode 312 - Burst Balloons

最新推荐文章于 2022-10-28 18:55:39 发布

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本文介绍LeetCode312题目的解决方案，采用动态规划算法求解最大收益问题，通过分治思想逐步解决子问题，最终实现全局最优解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

LeetCode 312 - Burst Balloons

题目

Given n balloons, indexed from 0 to n-1. Each balloon is painted with a number on it represented by array nums. You are asked to burst all the balloons. If the you burst balloon i you will get nums[left] * nums[i] * nums[right] coins. Here left and right are adjacent indices of i. After the burst, the left and right then becomes adjacent.

Find the maximum coins you can collect by bursting the balloons wisely.

Note:
(1) You may imagine nums[-1] = nums[n] = 1. They are not real therefore you can not burst them.
(2) 0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

Example:

Given [3, 1, 5, 8]

Return 167
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] -->   [3,8]   -->  [8]  --> []
coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167

解答

这道题我是从Divide and Conquer分类中找的。

初看这道题，能想到最trivial的方法就是遍历每种情况，根据刺破气球顺序的所有可能情况，这需要 $O(n!)$ 的时间。

但因为本题是属于Divide and Conquer下的题目，按理来说是要按分治的想法去思考更有效率的算法的。

假设有气球ball[0, …, n+1]，气球0和n+1是假想的不能刺破的气球。如果考虑先刺破气球i，剩下的左右两半气球，接下来怎么做？因为剩下两半气球在后续步骤中也会发生交互和联系，所以其实这个方向走不通。

那么我们考虑最后刺破气球i的情况。观察到，如果最后刺破气球i，那么气球i总是和气球0和气球n+1相乘，结果和以ball[0,…,i]及ball[i,…,n+1]分别为输入的子问题的结果相加。而ball[0,…,i]和ball[i,…,n+1]这两个问题是互不影响的，因为这两个区间的气球并不会跑到对方那里被刺，当这两个子问题完成后，剩余的气球只有ball[0,i,n+1]了。这就可以得到状态转移方程。令M(left,right)为以left和right的区间组成的气球所能获得的最大的值。

$M(left,right)=max\{ball[i]*ball[left]*ball[right]+M(left,i)+M(i,right) |i\in (left,right)\}$

现在要怎么计算M(0,n+1)呢？根据个人喜好，可以用top-down的方法（递归），也可以用down-top的方法（循环）。用递归来算的话，需要自行实现一个函数，用来避免对相同的区间（left，right）重复计算。用循环的话，可以从区间大小为2（我把right-left+1定为区间大小）开始计算，并逐渐提高区间大小直到区间大小为n+1，此时就刚好计算出M(left,right)了。

循环的方法，通过代码实现可以看到是三层循环，因此时间复杂度是 $O(n^3)$ 。通过记忆化来递归，时间复杂度应该也是一样的，只是实际运行会有函数调用的开销。

class Solution {
public:
    int maxCoins(vector<int>& nums)
    {
        vector<int> v(nums.size()+2);
        v[0]=v[v.size()-1]=1;
        copy(nums.begin(), nums.end(), v.begin()+1);

        vector<vector<int> >dp(v.size(),vector<int>(v.size(),0));
        for(int k=3;k<=v.size();k++)
        {
            for(int left=0;left<=v.size()-k;left++)
            {
                int right=left+k-1;
                for(int i=left+1;i<=right-1;i++)
                {
                    dp[left][right]=max(dp[left][right],dp[left][i]+dp[i][right]+v[i]*v[left]*v[right]);
                }
            }
        }
        return dp[0][v.size()-1];
    }
};