Bell-Ford 算法的改进--SPFA算法

最新推荐文章于 2024-08-01 16:18:05 发布

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本文介绍了一种改进的Bellman-Ford算法——SPFA算法，详细解释了其工作原理及实现流程，并通过实例演示了如何使用SPFA算法求解最短路径问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Bellman—Ford算法的时间复杂度比较高，原因在于Bellman—Ford算法要递推n次，每次递推，扫描所有的边，在递推n次的过程中很多判断是多余的，SPFA算法是Bellman—Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余判断。

大致流程：用一个队列来进行维护。初始时将源点加入队列。每次从队列中取出一个顶点，并与所有与它相邻的顶点进行松弛，若某个相邻的顶点松弛成功，则将其入队。重复这样的过程直到队列为空时算法结束。

实现过程：（1）取出队列头顶点v，扫描从顶点v发出的每条边，设每条边的终点为u，边<v,u>的权值为w，如果dist[v]+w<dist[u],则dist[u]=dist[v]+w,修改path[u]为v，若顶点u不在队列当中，还要将u入队列；如果dist[v]+w<dist[u],则对顶点u不做任何处理。（代码中u为起点，v为终点，这点不同）。

（2）重复执行上述过程直至队列为空。

上面看起来好抽象，举个栗子吧：

假设顶点3在队列中，取出顶点3，这时有个问题？从源点经过顶点3 到3的邻接点2和5的距离是否比之前更短呢？可能的情况：

dist[3]+w(3,2), dist[3]+w(3,5)分别和dist[2]与dist[5]进行比较，如果更短的话，则更新dist[2],dist[5]。如果被更新且不在队列中，则要入队。

例题：求顶点0到其他各顶点的最短路径长度，并输出相应的最短路径

测试数据：

输入：

7
0 1 6
0 2 5
0 3 5
1 4 -1
2 1 -2
2 4 1
3 2 -2
3 5 -1
4 6 3
5 6 3
-1 -1 -1

输出：

1 0-3-2-1

3 0-3-2

5 0-3

0 0-3-2-1-4

4 0-3-5

3 0-3-2-1-4-6

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
#define INF 999999
#define MAXN 110
struct ArcNode
{
    int to;
    int weight;
    ArcNode *next;
};
queue<int>Q;
int n;
ArcNode *List[MAXN];///定义了一大堆只能存放结点地址的指针，用来当做边链表的表头指针
int inq[MAXN];
int dist[MAXN],path[MAXN];
void SPFA(int src)///求源点src到其他各点的最路径长度
{
    int i,u;
    ArcNode *temp;
    for(i=0;i<n;i++)///初始化
    {
        dist[i]=INF; ///距离源点距离都为无穷
        path[i]=src;  ///所有顶点都假设与v0有直接路径
        inq[i]=0;  ///都不在队列，为0
    }
    dist[src]=0;path[src]=src; inq[src]++;///将src加入队列
    Q.push(src);
    while(!Q.empty())
    {
        u=Q.front(); Q.pop(); inq[u]--;///头结点出队
        temp=List[u];///temp等于编号为u的变量表的头结点
        while(temp!=NULL)
        {
            int v=temp->to;
            if(dist[u]+temp->weight<dist[v])
            {
                dist[v]=dist[u]+temp->weight; path[v]=u;///更新dist和path
                if(!inq[v]) { Q.push(v); inq[v]++; }///如果顶点v不在队列中，入队
            }
            temp=temp->next;
        }
    }
}
int main()
{
    int i,j;
    int u,v,w;
    scanf("%d",&n);
    memset(List,0,sizeof(List));
    ArcNode *temp;
    while(1)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        if(u==-1&&v==-1&&w==-1) break;
        temp=new ArcNode;
        temp->to=v; temp->weight=w; temp->next=NULL;
        if(List[u]==NULL) List[u]=temp;///头插法构造边链表
        else { temp->next=List[u]; List[u]=temp; }
    }
    SPFA(0);///求顶点0到其他各点的最短路径
    for(j=0;j<n;j++)///释放边链表上各边结点所占的空间
    {
        temp=List[j];
        while(temp!=NULL)
        {
           List[u]=temp->next;///存储下一个
           delete temp;///删除这一个
           temp=List[u];///定位下一个
        }
    }
    int shortest[MAXN];
    for(i=1;i<n;i++)  ///倒向追踪法输出路径，奇妙
    {
        printf("%d\t",dist[i]);
        memset(shortest,0,sizeof(shortest));
        int k=0;
        shortest[k]=i;
        while(path[shortest[k]]!=0)
        {
            k++;
            shortest[k]=path[shortest[k-1]];
        }
        k++; shortest[k]=0;
        for(j=k;j>0;j--)
            printf("%d->",shortest[j]);
        printf("%d\n",shortest[0]);
    }
    return 0;
}
/*
/*
测试数据：
输入：
7
0 1 6
0 2 5
0 3 5
1 4 -1
2 1 -2
2 4 1
3 2 -2
3 5 -1
4 6 3
5 6 3
-1 -1 -1
输出：
1       0->3->2->1
3       0->3->2
5       0->3
0       0->3->2->1->4
4       0->3->5
3       0->3->2->1->4->6

*/