扩展欧几里得算法

扩展欧几里得可以求a*x+b*y=gcd(a,b)方程关于x,y的整数解(a,b已知)

gcd(a,b)=gcd(b,a%b),所以a*x+b*y=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=b*x+a%b*y;

根据取余运算公式a%b=a-(a/b)*b;

若运算中含有浮点数则只需把(a/b)改为int(a/b)即可

上式=b*x+(a-(a/b)*b)*y=y*a+(x-(a/b)*b)*b;

b为0时则可以得出x=1,y=0,然后递归回去求x,y;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	int ret,tmp;
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int ret=exgcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y;
	y=tmp-(a/b)*y;
	return ret;
}

扩展欧几里得的应用：求解线性同余方程

定理一

a*x+b*y=c有整数解的冲要条件是c%gcd(a,b)=0;

那么对于方程a*x+b*y=c;我们可以先求出一组x1,y1使得a*x1+b*y1=gcd(a,b);

然后两边同时除以gcd(a,b)再乘以c，此时x=x1*c/gcd(a,b),y=y1*c/gcd(a,b);

定理二

若gcd(a,b)=1,且x1,y1为a*x+b*y=c的一组解,则该方程的任一解可表示为x=x1+b*t;y=y1-a*t;

t为任一整数时皆成立。

t=b/gcd(a,b);x=(x%t+t)%t;

bool linearEquation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
{
	    int d=exgcd(a,b,x,y);
	    if(c%d) return false;
	    int k=c/d;
	    x*=k;//+t*b
	    y*=k;//-t*a
            //t=b/gcd(a,b)保证gcd(t,a)=1以便使用定理二
             //x=(x%t+t)%t;
	    return true;
}