tensor的mode-n展开和mode-n乘积

1 tensor的mode-n矩阵开展

1.1 tensor的mode-n fibers

了解mode-n fibers能帮助你更好的理解tensor的mode-n展开，这里用一个三维tensor $X\in R^{I\times J\times K}$作为例子，由于这个tensor有三个维度，所以可以从三个不同的方向将其分割成一个个列向量，如下图所示：

从上到下的方向称为mode-1方向，从左到右的方向称为mode-2方向，从前往后的方向称为mode-3方向。沿mode-n方向将tensor分割得到的一个个列向量称为该tensor的mode-n fibers。

要得到$X$的mode-n fibers，可以固定除第n维以外的其他维度的坐标，此时取出第n维度的所有的元素，即为$X$的一个mode-n fibers。举例来说，$X$的mode-1 fibers可表示为$X[:,j,k]j\in [0,J)k\in [0,K)$，$X$的mode-3 fibers则可以表示为$X[i,j,:]i\in [0,I)j\in [0,J)$。

同理，如果这个tensor是四维的，则它的mode-4 fibers可表示为$X[i,j,k,:]i\in [0,I)j\in [0,J)k\in [0,K)$，其中i，j，k均取整数。

1.2 tensor 的mode-n展开矩阵

在得到tensor的mode-n fibers之后，将所有fibers排列在一起即可得到该tensor的mode-n展开矩阵（每个fibers都可以看成是一个列向量）。

那么应该按怎样的顺序来排列mode-n fibers呢？

对于展开矩阵中的第$j$列mode-n fibers，j的位置可通过如下公式得到：

这个式子很枯燥，说实话，我并没有搞懂j的计算方式，不过我搞清楚了三维tensor展开为矩阵的mode-n排列方式，通过代码能更清晰的展示它的排列顺序，下面是python的代码实现：

import numpy as np
# 矩阵X，具体见代码之后的例子，这是一个简单的3x4x2的tensor
X = [[[a0+d*3, a0+d*3+12] for d in range(0,4)] for a0 in range(1,4)]
X = np.array(X)

#-------------------------unfolding（tensor的矩阵化）-------------------------#
fibers_mode1 = [X[:,j,k] for k in range(0,2) for j in range(0,4)]
fibers_mode2 = [X[i,:,k] for k in range(0,2) for i in range(0,3)]
fibers_mode3 = [X[i,j,