ACM-ICPC 2018 沈阳赛区网络预赛 G. Spare Tire（容斥原理 + 推公式）

ACM-ICPC 2018 沈阳赛区网络预赛 G. Spare Tire

题目

给出 n， m。求下标为1~n内所有与m互质的数的an的总和，
下面是 an 的递推式
$$a_n=\{\begin{array}{ll}0,& n=0\\ 2,& n=1\\ \frac{3a_{n-1}-a_{n-2}}{2}+n+1,& n>1\end{array}$$

分析

求 1~n 与 m 互质的个数可以用容斥定理。

但这个题求出的数字只是下标，还要带入数列。先找点数列的性质：
从递推式打表推出通项公式：$a_n=n\ast (n+1)$
前 n 项和：$$S_n=\frac{n\ast (n+1)\ast (2\ast n+1)}{6}+\frac{n\ast (n+1)}{2}$$

分析求互质的个数时，先找 m 的质因子，然后枚举所有的质因子组合，假如说枚举出来的一个组合为 k。那么 k 的倍数 2k，3k， 4k ……都不与 m 互质，因此先求出数列前 n 项和，减去所有下标不互质的项就是答案。

对于一个组合 k ：下标不互质的项也构成了一个数列 $b_n=(kn{)}^2+kn$
前 n 项和：$$C{C}_n=\frac{n\ast (n+1)\ast (2\ast n+1)\ast k^2}{6}+\frac{n\ast (n+1)\ast k}{2}$$

然后用容斥定理算出最后结果即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define d(x) cout<<x<<endl
const int N = 1e4 + 5;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll inv2 = 500000004;    //2的逆元 
ll inv6 = 166666668;    //6的逆元 

ll n, m;

ll cc(ll n, ll i){
	n = n / i;			// 算有多少项，
    return ( n%mod*(n+1)%mod*(2*n+1)%mod*inv6%mod  *i%mod*i%mod
		    + n%mod*(n+1)%mod*inv2%mod  *i%mod )%mod;
}

int main(){
    while(~scanf("%lld%lld", &n, &m)){
        vector<int> q;
        int tmp = m;                        
        for(int i = 2; i * i <= m; i++){    // 分解 m 质因子到 vector 中
            if(tmp%i == 0){
                q.push_back(i);
                while(tmp%i == 0){
                    tmp /= i;
                }
            }
        }
        if(tmp != 1)
            q.push_back(tmp);
        int len = q.size();
        ll ans = 0;
        for (int i = 1; i < (1 << len); i++){   // 二进制枚举左右质因子组合
            ll t = 1;
            int num = 0;
            for (int j = 0; j < len; j++){
                if((1<<j) & i){
                    t *= q[j];
                    num++;
                }
            }
            t = cc(n, t);  // 质因子组合 t 所构成数列的和
            if(num&1){      // 奇加偶减
                ans = (ans % mod + t % mod) % mod;
            }else{
                ans = (ans % mod - t % mod + mod) % mod;
            }
        }
        printf("%lld\n", (cc(n, 1) - ans + mod) % mod);
    }
    return 0;
}
/*
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 */