欧拉筛应用 J. Sum（DP思维）

ACM-ICPC 2018 南京赛区网络预赛 J. Sum

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欧拉筛

欧拉筛可以在线性的时间内筛素数。原理是每一个合数都被它的最小质因子筛去。不会多筛，也不会漏筛。

代码中一般有两个数组，

• 标记是否是素数的数组 $vis[]$
• 保存素数的数组 $prime[]$

  int vis[N], prime[N];
  int cnt;
  void isprime(){
      cnt = 0;
      for (int i = 2; i <= n; i++){
          if(!vis[i]){					// 存素数
              prime[cnt++] = i;
          }
          for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i <= n; j++){
              vis[prime[j] * i] = 1;
              if(i % prime[j] == 0)		// 关键。保证了只被最小质因子筛去
                  break;
          }
      }
  }
  

从代码中可以看到，外部的 i 是作为倍数使用，每次用素数更新合数时，都是在当前倍数 $i$ 下，乘以整个素数表 $prime[]$。

打个表看一下。
注意看为什么 12 不被 3 X 4 更新。

i   素数表     所更新的合数
2	2               4
3   2 3             6 9
4   2 3             8 		--->// 不会更新 12， 因为 4 % 2 == 0，之后就 break了，
5   2 3 5           10 15 25	//  而 12 应该被最小质因子 2 更新
6   2 3 5           12
7   2 3 5 7         14 21 35 49
8   2 3 5 7         16
9   2 3 5 7         18 27

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当 i % prime [j] == 0 时，说明 i  = k * prime[j]。
再往上更新时，要跟新的值 num =   i * prime [j+1]。
这时发生了重复，因为 num = k * prime [j] * prime [j+1] = n * prime [j]
也就是 num 会被 prime[j] 乘以一个 n 数给更新。
这样就保证了被最小质因子更新

应用

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题意

定义 $f(n)$ 表示整数 $n$ 能拆成几对 $n=a\ast b$。其中要满足 $a,b$ 没有平方数的因子。

求 ${\sum }_{i=1}^{n}f(i)$，$\left(n\le 2\cdot 10^7\right)$

分析

因为 $n=a\ast b$，且 $a,b$ 没有平方因子，即： $a,b$分解质因子之后没有重复的。那么 $n$ 的相同质因子个数不能超过 2

对质因子个数进行分类讨论，算出 $f(i)$即可。
设 $x=i\ast prime[j]$

• 数 i 是素数 。那么 $f(i)$ = 2，因为只有两种 $1\ast i，i\ast 1$。
• 数 i 不是素数，还要再分两种

  1. 那 i % prime[j] == 0 之前的
     这时相当与再数字 i 的分配方式下面多了一个质数，可以放在左边，也可以放再右边。例如 i = 9 时，prime[j] = 2.
     原本 9 = 3 * 3。现在多了一个 2，放在两边都可以，即 $f[x]=f[i]\ast 2$

  2. 当 i % prime[j] == 0，还要分两种
     当 i 里有两个或以上的 prime[j] 时，例 i = 4, prime[j] = 2 时。这时候将prime[j]放两边都不行，都会产生平方数。因此 $f[x]=0$

     当 i 里有一个prime[j]时，例 i = 6，prime[j] = 2 时，这时，prime[j] 只能放在一边，相当于没有了 prime[j] 的影响。$f[x]=f[i]/2$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 2e7 + 5;

int _, n, cnt;
bool vis[N];
int prime[N];
int ans[N];

void isprime(){
    cnt = 0;
    ans[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++){
        if(!vis[i]){
            prime[cnt++] = i;
            ans[i] = 2;
        }
        for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i < N; j++){
            int x = prime[j] * i;
            vis[x] = 1;
            if(i % prime[j] == 0){      // prime[j] 是 i 的最小质因子
                if(i % (prime[j] * prime[j]) == 0)
                    ans[x] = 0;
                else
                    ans[x] = ans[i] / 2;
                break;
            }else{
                ans[x] = ans[i] * 2;
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i < N; i++){
        ans[i] += ans[i - 1];
    }
}


int main(){
    isprime();
    for (scanf("%d", &_); _; _--){
        scanf("%d", &n);
        printf("%d\n", ans[n]);
    }
    return 0;
}