3.二分查找

算法功能

查找有序数组中的某个元素的下标

输入输出

输入	输出
最左元素下标：l	目标元素的下标：l
最右元素下标：r
数组：a[]

算法步骤

• 红色区域的右边界值
  

1. 找中间值 mid = (l+r+1)/2

int mid = l + r + 1 >> 1;//如果不加上1，那么mid得到的是下取整的数
//那么有可能[m,r]更新过后m会一直等于m（m+1==r的情况）会陷入死循环。

2. 检查mid是不是在红色区间更新l或者r

 if (check(mid)) l = mid;//如果mid在红色区间，说明红色区域的右边界在mid的右边，更新l
        else r = mid - 1;//如果mid在绿色区间，说明红色区域的右边界在mid的左边，更新r

3. 不断递归，直到递归到l==r

 int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

• 绿色区域的左边界值
  

1. 找中间值 mid = (l+r)/2

int mid = l + r >> 1;

4. 检查mid是不是在绿色区间更新r或者l

 if (check(mid)) r = mid;//如果mid在绿色区间，说明绿色区域的右边界在mid的左边，更新r
        else l = mid + 1;

5. 不断递归，直到递归到l==r

int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

关键点

左区域的右边界—>l=mid, r=mid-1, mid = l + r + 1 >> 1
右区域的左边界—>r=mid, l=mid+1, mid = l + r >> 1

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案例一：AcWing 789. 数的范围

AcWing 789. 数的范围

输入输出

输入	输出
给定数组	输出目标值起始位置和终止位置，没有返回[-1,-1]
给定查询目标值

步骤

1. 给定数组

    scanf("%d%d", &n, &m);//n是待输入数组元素的个数，m是待输入目标值的个数
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);//输入数组

2. 给定查询目标值

	int x;
	scanf("%d", &x);

3. 查找目标值的起始位置

int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }

4. 判断目标值在数组中是否存在，如果不存在则返回"-1 -1"

if (q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;

5. 如果存在，则查找目标值的末位置

int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r)
            {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }

            cout << l << endl;

6. 查询m遍

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int q[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);

    while (m -- )
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);

        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }

        if (q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else
        {
            cout << l << ' ';

            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r)
            {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }

            cout << l << endl;
        }
    }

    return 0;
}

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案例二：AcWing 790. 数的三次方根

AcWing 790. 数的三次方根

输入输出

输入	输出
一个数	这个数的三次方根（保留 6 位小数）

步骤

1. 给定待开根的数

	double x;
    cin >> x;

2. 用二分查找法寻找

double l = -100, r = 100;
    while (r - l > 1e-8)//保留六位小数，经验一般是+2
    {
        double mid = (l + r) / 2;//明确中间值
        if (mid * mid * mid >= x) r = mid;
        else l = mid;//浮点型不用+1或者是-1
    }

2. 输出三次方根

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    double x;
    cin >> x;

    double l = -100, r = 100;
    while (r - l > 1e-8)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (mid * mid * mid >= x) r = mid;
        else l = mid;
    }

    printf("%.6lf\n", l);//最好用printf，因为cout默认两位小数
    return 0;
}