算法笔记/USACO Guide GOLD金组DP 4. Longest Increasing Subsequence

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理解最长递增子序列（LIS）问题是一个经典的DP问题。在给定的数组中，目标是找到最长的严格递增的子序列。

子序列

子序列是通过删除一些或不删除元素，从原数组中得到的序列，且保留原顺序。例如，在数组 `[3, 10, 2, 1, 20]` 中，`[3, 10, 20]` 就是一个子序列。

例题：

问题概述

给定一个数组 `A`，找到其中最长的子序列，且子序列中的每个元素都比前一个元素大。这就是LIS问题。

朴素动态规划解决方案 (时间复杂度 O(N^2))

朴素方法使用动态规划（DP），时间复杂度为 O(N²)。该方法逻辑简单，但在处理较大数组时效率低。

朴素动态规划方法解释：

1. 创建一个 DP 数组 `dp[]`，其中每个元素 `dp[i]` 表示以索引 `i` 结尾的最长递增子序列的长度。

2. 对于每个元素 `A[i]`，遍历之前的所有元素 `A[j]`（`j < i`）。如果 `A[j] < A[i]`，则 `A[i]` 可以扩展以 `A[j]` 结尾的子序列。

3. 更新 `dp[i]`，使其为 `dp[i]` 和 `dp[j] + 1` 的较大值。

4. 最后的结果是 `dp[]` 数组中的