区间dp

区间dp

dp的问题有很多种类，今天记录的是区间类型的dp问题。

这类问题经过思考转化之后通常比较明显，即是问题一段区间上的最优解。

比如：矩阵连乘问题，石子合并问题。

以石子合并问题为例：

有n堆石子排成一列，每堆石子有一个重量w[i], 每次合并可以合并相邻的两堆石子，一次合并的代价为两堆石子的重量和w[i]+w[i+1]。问安排怎样的合并顺序，能够使得总合并代价达到最小。

如果利用数组 $dp[i][j]$来表示第 i 堆到第 j 堆全部合并之后的最小代价， $sum[i：j]$表示第 i 堆到第 j 堆的石子重量和，那么i-j的最小代价一定是满足下列公式的（状态转移方程）:

$$dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i:j])$$

所以对于确定的i-j，只需要枚举k就能确定 $dp[i][j]$的最小值。

由于 $dp[i][j]$的计算需要知道 $dp[i][k]$和 $dp[k][j]$的值（i<k<j），所以我们需要先知道短区间的最优值。

所以总体思路，我们按照区间长度由短到长，自底向上计算最优值。

核心代码

for(int len=2;len<=n;len++){
    for (int i=1;i<=n-len+1;i++){
        int j=i+len-1;
        for (int k=i;k<j;k++)
            dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
    }
}